Najprostszymi równaniami kwadratowymi są równania typu: \[\color{Red}{x^2=a} \] gdzie \(a\) - to dowolna liczba rzeczywista.
W zależności od wartości parametru \(a\), równanie może mieć różną liczbę rozwiązań.
- Jeżeli \(a>0\), to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=\sqrt{a}\) oraz \(x=-\sqrt{a}\).
- Jeżeli \(a=0\), to równanie ma jedno rozwiązanie: \(x=0\).
- Jeżeli \(a<0\), to równanie nie ma rozwiązań.
Rozwiąż równanie \(x^2=9\).
Po prawej stronie równania mamy liczbę dodatnią, zatem to równanie ma dwa rozwiązania.
Wyciągamy pierwiastek z liczby \(9\) otrzymując rozwiązania: \[\begin{split} x^2&=9\\[6pt] x=3 \quad &\text{ lub }\quad x=-3 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(x^2 = 64\).
Po prawej stronie mamy liczbę dodatnią, zatem to równanie ma dwa rozwiązania.
Wyciągamy pierwiastek z liczby \(64\) otrzymując rozwiązania: \[\begin{split} x^2&=64\\[6pt] x=8 \quad &\text{ lub }\quad x=-8 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(x^2=5\).
Podobnie jak w poprzednich przykładach po prawej stronie równania mamy liczbę dodatnią, zatem będą dwa rozwiązania. \[\begin{split} x^2&=5\\[6pt] x=\sqrt{5} \quad &\text{ lub }\quad x=-\sqrt{5} \end{split}\] W tym przypadku pierwiastek z \(5\) jest liczbą niewymierną, dlatego rozwiązania zostawiamy w takiej postaci jak powyżej.
Rozwiąż równanie \(x^2- 3 = 1\).
To równanie wydaje się inne od poprzednich, jednak w rzeczywistości daje się łatwo przekształcić do postaci \(x^2=a\). Przenosimy po prostu liczbę \(-3\) na prawą stronę: \[\begin{split} x^2-3&=1\\[6pt] x^2&=1+3\\[6pt] x^2&=4\\[6pt] x=2 \quad &\text{ lub }\quad x=-2 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(10+x^2=11\).
Na początku przenosimy liczbę \(10\) na prawą stronę (żeby po lewej stronie zostało samo \(x^2\)). \[\begin{split} 10+x^2&=11\\[6pt] x^2&=11-10\\[6pt] x^2&=1\\[6pt] x=1 \quad &\text{ lub }\quad x=-1 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(2\cdot (11-x^2)=18\).
Na początku możemy podzielić równanie stronami przez 2: \[\begin{split} \qquad 2⋅(11 - x^2) &= 18\qquad //:2 \\[6pt] 11 - x^2 &= 9 \end{split}\] Kontynuujemy przekształcenia i doprowadzamy równanie do postaci \(x^2=a\): \[\begin{split} 11 - x^2 &= 9\\[6pt] -x^2 &= 9-11\\[6pt] \qquad -x^2 &= -2\qquad /\cdot (-1)\\[6pt] x^2 &= 2\\[6pt] x=\sqrt{2} \quad &\text{ lub }\quad x=-\sqrt{2} \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(3\cdot (x^2+1)-1=2\).
Przekształcamy i doprowadzamy równanie do postaci \(x^2=a\): \[\begin{split} 3\cdot (x^2+1)-1=2\\[6pt] 3x^2+3-1=2\\[6pt] 3x^2+2=2\\[6pt] 3x^2=0\\[6pt] x^2=0\\[6pt] x=0 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(1=2x^2+7\).
Przekształcamy i doprowadzamy równanie do postaci \(x^2=a\): \[\begin{split} 1&=2x^2+7\\[6pt] -2x^2&=7-1\\[6pt] -2x^2&=6\\[6pt] x^2&=-3\\[6pt] &\text{równanie sprzeczne} \end{split}\] To równanie nie ma rozwiązań, ponieważ dowolna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni (nie można uzyskać liczby ujemnej \(-3\)).
Kolejny typ równań kwadratowych, które można bardzo łatwo rozwiązać, to: \[\color{Red}{x^2+ax=0} \] gdzie \(a\) - to dowolna liczba rzeczywista.
Równania tego typu można rozwiązać rozkładając lewą stronę na iloczyn czynników (wyciągając przed nawias \(x\)). \[\begin{split} x^2+ax&=0 \\[6pt] x(x+a)&=0\\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad x+a=0\\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad x=-a\\[6pt] \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(x^2+x=0\).
Wyciągamy wspólny czynnik (\(x\)) przed nawias: \[\begin{split} x^2 + x &= 0\\[6pt] x(x+1) &= 0\\[6pt] \end{split}\] Teraz każdy z czynników przyrównujemy do zera: \[\begin{split} x(x+1) &= 0\\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad x+1=0 \\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad x=-1 \\[6pt] \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(x^2-2x=0\).
Wyciągamy wspólny czynnik (\(x\)) przed nawias: \[\begin{split} x^2-2x &= 0\\[6pt] x(x-2) &= 0\\[6pt] \end{split}\] Teraz każdy z czynników przyrównujemy do zera: \[\begin{split} x(x-2) &= 0\\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad x-2=0 \\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad x=2 \\[6pt] \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(x^2=7x\).
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i wyciągamy wspólny czynnik przed nawias: \[\begin{split} x^2&=7x\\[6pt] x^2 -7x &= 0\\[6pt] x(x-7) &= 0\\[6pt] \end{split}\] Teraz każdy z czynników przyrównujemy do zera: \[\begin{split} x(x-7) &= 0\\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad x-7=0 \\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad x=7 \\[6pt] \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(12x=3x^2\).
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i wyciągamy wspólny czynnik przed nawias: \[\begin{split} 12x&=3x^2\\[6pt] 12x-3x^2 &= 0\qquad //:3\\[6pt] 4x-x^2&=0\\[6pt] x(4-x) &= 0\\[6pt] \end{split}\] Teraz każdy z czynników przyrównujemy do zera: \[\begin{split} x(4-x) &= 0\\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad 4-x=0 \\[6pt] x=0 \quad &\text{ lub }\quad x=4 \\[6pt] \end{split}\]
Kolejny rodzaj prostego równania kwadratowego, to: \[\color{Red}{(x-a)(x-b)=0} \] gdzie \(a\), \(b\) - to dowolne liczby rzeczywiste.
Równania tego typu rozwiązuje się praktycznie bez liczenia. Wystarczy jedynie znać zasadę, o której powiedzieliśmy sobie przy omawianiu poprzedniego typu.
Zasada ta mówi, że iloczyn dwóch nawiasów (czynników) może być równy zero, jeżeli przynajmniej jeden z tych nawiasów jest równy zero.
Żeby zatem rozwiązać równanie tego typu, to wystarczy przyrównać oba nawiasy do zera i sprawdzić kiedy (dla jakich \(x\)-ów) zeruje się każdy z nich. \[\begin{split} (x-a)(x-b)&=0\\[6pt] x-a=0 \quad &\text{ lub }\quad x-b=0\\[6pt] x=a \quad &\text{ lub }\quad x=b \end{split}\]
Rozwiąż równanie \((x-2)(x-5)=0\).
Zamieniamy równanie kwadratowe na dwa proste równania, przyrównując każdy z nawiasów do zera: \[\begin{split} (x-2)(x-5)&=0\\[6pt] x-2=0 \quad &\text{ lub }\quad x-5=0\\[6pt] x=2 \quad &\text{ lub }\quad x=5 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \((x-13)(x-\sqrt{2})=0\).
Zamieniamy równanie kwadratowe na dwa proste równania, przyrównując każdy z nawiasów do zera: \[\begin{split} (x-13)(x-\sqrt{2})&=0\\[6pt] x-13=0 \quad &\text{ lub }\quad x-\sqrt{2}=0\\[6pt] x=13 \quad &\text{ lub }\quad x=\sqrt{2} \end{split}\]
Rozwiąż równanie \(5(x-3)(x+4)=0\).
Możemy na początku podzielić równanie stronami przez \(5\). Nie jest to jednak konieczne, ponieważ po lewej stronie mamy już iloczyn (tym razem trzech czynników), który ma szanse się wyzerować tylko wtedy, gdy pierwszy lub drugi nawias będzie równy zero. \[\begin{split} 5(x-3)(x+4)&=0\\[6pt] x-3=0 \quad &\text{ lub }\quad x+4=0\\[6pt] x=3 \quad &\text{ lub }\quad x=-4 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \((6x-18)(10x-5)=0\).
Zamieniamy równanie kwadratowe na dwa proste równania liniowe, przyrównując oba nawiasy do zera: \[\begin{split} (6x-18)(10x-5)&=0\\[6pt] 6x-18=0 \quad &\text{ lub }\quad 10x-5=0\\[6pt] 6x=18 \quad &\text{ lub }\quad 10x=5\\[6pt] x=3 \quad &\text{ lub }\quad x=\frac{1}{2} \end{split}\]
Kolejny typ prostego równania kwadratowego, to: \[\color{Red}{(x-a)^2=0} \] gdzie \(a\) - to dowolna liczba rzeczywista.
Ten typ równania kwadratowego jest szczególnym przypadkiem (wcześniej omawianej) klasycznej postaci iloczynowej. Łatwo można go do takiej postaci przekształcić: \[\begin{split} (x-a)^2&=0\\[6pt] (x-a)(x-a)&=0 \end{split}\] W takim przypadku nie ma potrzeby przyrównywać do zera obu nawiasów (bo są identyczne). Piszemy po prostu: \[\begin{split} (x-a)^2&=0\\[6pt] x-a&=0\\[6pt] x&=a \end{split}\]
Rozwiąż równanie \((x-1)^2=0\).
Przyrównujemy nawias do zera: \[\begin{split} (x-1)^2&=0\\[6pt] x-1&=0\\[6pt] x&=1 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \((x+17)^2=0\).
Przyrównujemy nawias do zera: \[\begin{split} (x+17)^2&=0\\[6pt] x+17&=0\\[6pt] x&=-17 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \((2x-6)^2=0\).
Podobnie jak w przykładach poprzednich - przyrównujemy nawias do zera: \[\begin{split} (2x-6)^2&=0\\[6pt] 2x-6&=0\\[6pt] 2x&=6\\[6pt] x&=3 \end{split}\]
Rozwiąż równanie \((x-\sqrt{5})^2=0\).
Podobnie jak w przykładach poprzednich - przyrównujemy nawias do zera: \[\begin{split} (x-\sqrt{5})^2&=0\\[6pt] x-\sqrt{5}&=0\\[6pt] x&=\sqrt{5} \end{split}\]