Trójkąty podobne - to dwa trójkąty, których odpowiednie boki są parami proporcjonalne. Oznacza to, że stosunki odpowiednich boków są równe.

Na powyższym rysunku trójkąty \(ABC\) i \(A'B'C'\) są podobne. Zapiszemy to tak: \[\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\] Stosunki odpowiednich boków w powyższych trójkątach są równe, co zapiszemy tak: \[\frac{|AB|}{|A'B'|}=\frac{|BC|}{|B'C'|}=\frac{|AC|}{|A'C'|}\] Trójkąty podobne mają
kąty o takiej samej mierze. Na powyższym rysunku oba trójkąty mają kąty \(\alpha, \beta, \gamma\).
Cechy podobieństwa trójkątów
Trójkąty są podobne, jeśli zachodzi dowolny z poniższych warunków:
- Cecha BBB (Bok-Bok-Bok) - stosunki długości odpowiednich boków są równe,
- Cecha KKK (Kąt-Kąt-Kąt) - miary odpowiednich kątów są równe,
- Cecha BKB (Bok-Kąt-Bok) - stosunki długości dwóch par boków są równe i miary kątów między tymi bokami są równe,
Do sprawdzenia cechy KKK wystarczy tak naprawdę równość dwóch kątów, ponieważ miara trzeciego kąta będzie wówczas w obu trójkątach taka sama (z własności, że w każdym trójkącie \(\alpha +\beta +\gamma =180^\circ \)).
Czy trójkąty o bokach długości: \(2,3,4\) oraz \(9,6,12\) są podobne?
Korzystamy z cechy podobieństwa trójkątów BBB. Sprawdzamy czy stosunki najkrótszych boków, średnich boków oraz najdłuższych boków jest taki sam, tzn. czy zachodzi równość: \[\frac{2}{6}=\frac{3}{9}=\frac{4}{12}\] Powyższa równość jest prawdziwa, ponieważ każdy z ułamków po skróceniu jest równy \(\frac{1}{3}\): \[\frac{1}{3}=\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\] Zatem trójkąty są podobne.
Zbadaj czy trójkąty \(ABC\) i \(DEF\) są podobne.
Sprawdzimy cechę podobieństwa trójkątów KKK.
Liczymy trzeci kąt trójkąta \(ABC\): \[|\sphericalangle ABC|=180^\circ -(80^\circ +70^\circ )=180^\circ -150^\circ =30^\circ \] Teraz liczymy trzeci kąt trójkąta \(DEF\): \[|\sphericalangle DEF|=180^\circ -(30^\circ +70^\circ )=180^\circ -100^\circ =80^\circ \] Oba trójkąty mają kąty o miarach: \(30^\circ, 70^\circ\) oraz \(80^\circ \), zatem z cechy KKK są podobne.
Możemy zapisać podobieństwo trójkątów: \[\triangle ABC\sim \triangle EDF\] Zwróć uwagę, że przy zapisywaniu podobieństwa trójkątów, wierzchołki wypisujemy w takiej kolejności, aby kolejne literki odpowiadały tym samym kątom. Dzięki takiej staranności, można później zapisywać stosunki odpowiednich boków, patrząc jedynie na zapisane podobieństwo \(\triangle ABC\sim \triangle EDF\). Przykładowo: \[\frac{|AB|}{|ED|}=\frac{|AC|}{|EF|}\]
Trójkąt \(ABC\) ma boki długości: \(4,12,x\), a trójkąt \(PQR\) ma boki długości \(5,13,15\). Wiadomo, że trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Oblicz \(x\).
Zauważmy, że w trójkącie \(ABC\) bok \(x\) musi być bokiem średnim co do długości.
Skoro trójkąty są podobne, to stosunki ich odpowiednich boków muszą być równe, czyli: \[\frac{4}{5}=\frac{12}{15}=\frac{x}{13}\] Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} \frac{4}{5}&=\frac{x}{13}\\[6pt] 5x&=4\cdot 13\\[6pt] x&=\frac{52}{5} \end{split}\]
Trójkąty prostokątne \(ABC\) i \(DEF\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(ABC\) mają długości \(5\) i \(12\), a przeciwprostokątna trójkąta\(DEF\) ma długość \(26\). Wyznacz pole trójkąta \(DEF\).
\(P=120\)