Geometria płaska

Podobieństwo trójkątów

Trójkąty podobne - to dwa trójkąty, których odpowiednie boki są parami proporcjonalne. Oznacza to, że stosunki odpowiednich boków są równe. Na powyższym rysunku trójkąty \(ABC\) i \(A'B'C'\) są podobne. Zapiszemy to tak: \[\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\] Stosunki odpowiednich boków w powyższych trójkątach są równe, co zapiszemy tak: \[\frac{|AB|}{|A'B'|}=\frac{|BC|}{|B'C'|}=\frac{|AC|}{|A'C'|}\] Trójkąty podobne mają kąty o takiej samej mierze. Na powyższym rysunku oba trójkąty mają kąty \(\alpha, \beta, \gamma\).

Cechy podobieństwa trójkątów

Trójkąty są podobne, jeśli zachodzi dowolny z poniższych warunków:
  • Cecha BBB (Bok-Bok-Bok) - stosunki długości odpowiednich boków są równe,
  • Cecha KKK (Kąt-Kąt-Kąt) - miary odpowiednich kątów są równe,
  • Cecha BKB (Bok-Kąt-Bok) - stosunki długości dwóch par boków są równe i miary kątów między tymi bokami są równe,
Do sprawdzenia cechy KKK wystarczy tak naprawdę równość dwóch kątów, ponieważ miara trzeciego kąta będzie wówczas w obu trójkątach taka sama (z własności, że w każdym trójkącie \(\alpha +\beta +\gamma =180^\circ \)).
Czy trójkąty o bokach długości: \(2,3,4\) oraz \(9,6,12\) są podobne?
Korzystamy z cechy podobieństwa trójkątów BBB. Sprawdzamy czy stosunki najkrótszych boków, średnich boków oraz najdłuższych boków jest taki sam, tzn. czy zachodzi równość: \[\frac{2}{6}=\frac{3}{9}=\frac{4}{12}\] Powyższa równość jest prawdziwa, ponieważ każdy z ułamków po skróceniu jest równy \(\frac{1}{3}\): \[\frac{1}{3}=\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\] Zatem trójkąty są podobne.
Zbadaj czy trójkąty \(ABC\) i \(DEF\) są podobne.
Sprawdzimy cechę podobieństwa trójkątów KKK.
Liczymy trzeci kąt trójkąta \(ABC\): \[|\sphericalangle ABC|=180^\circ -(80^\circ +70^\circ )=180^\circ -150^\circ =30^\circ \] Teraz liczymy trzeci kąt trójkąta \(DEF\): \[|\sphericalangle DEF|=180^\circ -(30^\circ +70^\circ )=180^\circ -100^\circ =80^\circ \] Oba trójkąty mają kąty o miarach: \(30^\circ, 70^\circ\) oraz \(80^\circ \), zatem z cechy KKK są podobne.
Możemy zapisać podobieństwo trójkątów: \[\triangle ABC\sim \triangle EDF\] Zwróć uwagę, że przy zapisywaniu podobieństwa trójkątów, wierzchołki wypisujemy w takiej kolejności, aby kolejne literki odpowiadały tym samym kątom. Dzięki takiej staranności, można później zapisywać stosunki odpowiednich boków, patrząc jedynie na zapisane podobieństwo \(\triangle ABC\sim \triangle EDF\). Przykładowo: \[\frac{|AB|}{|ED|}=\frac{|AC|}{|EF|}\]
Trójkąt \(ABC\) ma boki długości: \(4,12,x\), a trójkąt \(PQR\) ma boki długości \(5,13,15\). Wiadomo, że trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Oblicz \(x\).
Zauważmy, że w trójkącie \(ABC\) bok \(x\) musi być bokiem średnim co do długości.
Skoro trójkąty są podobne, to stosunki ich odpowiednich boków muszą być równe, czyli: \[\frac{4}{5}=\frac{12}{15}=\frac{x}{13}\] Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} \frac{4}{5}&=\frac{x}{13}\\[6pt] 5x&=4\cdot 13\\[6pt] x&=\frac{52}{5} \end{split}\]
W tym nagraniu wideo pokazuję co to są trókąty podobne.
W tym nagraniu wideo pokazuję jak poprawnie zapisywać podobieństwo trójkątów
Odcinki \(AB\) i \(CD\) są równoległe, trójkąt \(ABE\) jest równoboczny i \(|AB|=5\) oraz \(|BD|=2\) (zobacz rysunek). Obwód czworokąta \(ACDB\) wynosi:
A.\( 12 \)
B.\( 14 \)
C.\( 16 \)
D.\( 18 \)
C
Proste \(AD\) i \(BC\) są równoległe. Długości odcinków \(ED\), \(DC\) oraz \(AB\) podane są na rysunku. Długość odcinka \(EA\) jest równa
A.\( 4 \)
B.\( 8 \)
C.\( 9 \)
D.\( 10 \)
B
Odcinki \( BC\) i \(DE \) są równoległe. Długości odcinków \( AC, CE \) i \( BC \) są podane na rysunku. Długość odcinka \( DE \) jest równa
A.\(6 \)
B.\(8 \)
C.\(10 \)
D.\(12 \)
C
Czy poniższe trójkąty są podobne?
tak
Długość odcinka \( AB \), równoległego do odcinka \( CD \), jest równa
A.\( 6 \)
B.\( 3 \)
C.\( 2 \)
D.\( 4 \)
D
Jeżeli trójkąty \( ABC \) i \( A'B'C' \) są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe \( 25 \) cm2 i \( 50 \) cm2, to skala podobieństwa \( \frac{A'B'}{AB} \) jest równa
A.\(2 \)
B.\(\frac{1}{2} \)
C.\(\sqrt{2} \)
D.\(\frac{\sqrt{2}}{2} \)
C
Odcinki \( BC \) i \( DE \) są równoległe i \( |AE|=4 \), \( |DE|=3 \) (zobacz rysunek). Punkt \( D \) jest środkiem odcinka \( AB \). Długość odcinka \( BC \) jest równa
A.\(4 \)
B.\(6 \)
C.\(8 \)
D.\(16 \)
B
Przedstawione na rysunku trójkąty są podobne. Wówczas
A.\( a=13 \), \(b=17 \)
B.\( a=10 \), \(b=18 \)
C.\( a=9 \), \(b=19 \)
D.\( a=11 \), \(b=13 \)
B
Obwody dwóch trójkątów podobnych, których pola pozostają w stosunku \(1:4\), mogą być równe
A.\( 9 \) i \(36\)
B.\( 18 \) i \(36\)
C.\( 9 \) i \(144\)
D.\( 18 \) i \(144\)
B
Trójkąt \(T\) jest podobny do trójkąta \(T_1\) w skali \(k=\frac{1}{6}\), a trójkąt \(T_2\) jest podobny do trójkąta \(T\) w skali \(k=3\). Pole trójkąta \(T_2\) jest równe \(24\). Trójkąt \(T_1\) ma pole równe
A.\( 12 \)
B.\( 48 \)
C.\( 72 \)
D.\( 96 \)
D
Przedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość
A.\( 8 \)
B.\( 8{,}5 \)
C.\( 9{,}5 \)
D.\( 10 \)
B
Trójkąt \(ABC\) jest podobny do trójkąta \(A'B'C'\) w skali \(\frac{5}{2}\), przy czym \(|AB|=\frac{5}{2}|A'B'|\). Stosunek pola trójkąta \(ABC\) do pola trójkąta \(A'B'C'\) jest równy
A.\( \frac{4}{25} \)
B.\( \frac{2}{5} \)
C.\( \frac{5}{2} \)
D.\( \frac{25}{4} \)
D
Trójkąty \(ABC\) i \(DEF\) są podobne. Obwód trójkąta \(ABC\) jest równy \(16\), a jego pole \(12\). Pole trójkąta \(DEF\) jest równe \(60\). Zatem obwód trójkąta \(DEF\) jest równy:
A.\( 80 \)
B.\( 16\sqrt{5} \)
C.\( \frac{16\sqrt{5}}{5} \)
D.\( \frac{16}{5} \)
B
Dany jest trójkąt o bokach długości: \(2\sqrt{5}\), \(3\sqrt{5}\), \(4\sqrt{5}\). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości
A.\( 10, 15, 20 \)
B.\( 20, 45, 80 \)
C.\( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4} \)
D.\( \sqrt{5}, 2\sqrt{5}, 3\sqrt{5} \)
A
Odcinki \(AD\) i \(BE\) przecinają się w punkcie \(C\). W trójkątach \(ABC\) i \(CDE\) zachodzą związki: \(|\sphericalangle CAB|=|\sphericalangle CED|\), \(|AC|=5\), \(|BC|=3\), \(|CE|=10\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty \(ABC\) i \(CDE\) są podobne. Oblicz długość boku \(CD\).
\(6\)
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Na przyprostokątnych \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(G\). Na przeciwprostokątnej \(BC\) wyznaczono punkty \(E\) i \(F\) takie, że \(|\sphericalangle DEC|=|\sphericalangle BGF|=90^\circ \) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt \(CDE\) jest podobny do trójkąta \(FBG\).
Trójkąty prostokątne \(ABC\) i \(DEF\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(ABC\) mają długości \(5\) i \(12\), a przeciwprostokątna trójkąta\(DEF\) ma długość \(26\). Wyznacz pole trójkąta \(DEF\).
\(P=120\)
Tematy nadrzędne i sąsiednie