Ostrosłup prawidłowy trójkątny
Poziom podstawowy
Ostrosłup prawidłowy trójkątny - to taki ostrosłup, który ma w podstawie trójkąt równoboczny. Wierzchołek takiego ostrosłupa leży dokładnie nad środkiem podstawy. W związku z tym ostrosłup prawidłowy trójkątny ma trzy identyczne ściany boczne, które są trójkątami równoramiennymi.
Spodek wysokości ostrosłupa (\(H\)) leży na przecięciu dwusiecznych (które są jednocześnie wysokościami i środkowymi) trójkąta równobocznego w podstawie.
Wzór na pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego trójkątnego: \[P_c=P_p+P_b=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot \frac{1}{2}ah=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{3ah}{2}\] gdzie:
\(P_p\) - pole podstawy ostrosłupa
\(P_b\) - suma pól ścian bocznych ostrosłupa
Wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego: \[V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H=\frac{a^2H\sqrt{3}}{12}\] gdzie:\(P_p\) - pole podstawy ostrosłupa
\(P_b\) - suma pól ścian bocznych ostrosłupa
\(P_p\) - pole podstawy ostrosłupa
\(H\) - wysokość ostrosłupa
Zadanie 1.
Każda krawędź ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość \(9\) (ostrosłup taki jest nazywany czworościanem foremnym). Wysokość tego ostrosłupa jest równa
A.\( 3\sqrt{6} \)
B.\( 3\sqrt{3} \)
C.\( 2\sqrt{6} \)
D.\( 3\sqrt{2} \)
Zadanie 2.
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) (tak jak na rysunku) jest równa \(72\), a promień okręgu wpisanego w podstawę \(ABC\) tego ostrosłupa jest równy \(2\). Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną. 
Zadanie 3.
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa \(\frac{5\sqrt{3}}{4}\), a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 4.
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \(24\), a kąt płaski ściany bocznej przy podstawie ma miarę \(\alpha \) i \(\operatorname{tg} \alpha =2\). Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
Zadanie 5.
Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ\). Odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi bocznej jest równa \(4\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 6.
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest \(2\) razy dłuższa od wysokości ostrosłupa poprowadzonej na tę podstawę. Wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.
Zadanie 7.
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Wysokość \(SO\) tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa \(27\). Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(ABCS\) oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.
Zadanie 8.
Trójkąt równoboczny \(ABC\) jest podstawą ostrosłupa prawidłowego \(ABCS\), w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ \), a krawędź boczna ma długość \(7\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa. 
Zadanie 9.
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym \(ABCS\) krawędź podstawy ma długość \(a\). Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. 
Zadanie 10.
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest trzy razy dłuższa od wysokości ostrosłupa. Krawędź podstawy ma długość \(12\). Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Zadanie 11.
Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa długości krawędzi jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
Długość przekątnej jest równa wysokości trójkąta: \[h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\] Zatem: \[2x = \frac{2}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{3}\] Zapisujemy równanie Pitagorasa dla krawędzi bocznej \(y\): \[ y^2 = a^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2\\[6pt] y^2 = a^2 + \frac{3a^2}{9}\\[6pt] y^2 = a^2 + \frac{a^2}{3}\\[6pt] y^2 = \frac{3a^2}{3} + \frac{a^2}{3}\\[6pt] y = \sqrt{\frac{4a^2}{3}}\\[6pt] y = \frac{2a}{\sqrt{3}} \] Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tworzy się między krawędzią boczną a jej rzutem na płaszczyznę (którym jest odcinek łączący środek podstawy z wierzchołkiem podstawy). Zatem: \[ \cos \alpha = \frac{a}{y} = \frac{a}{\frac{2a}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Poziom rozszerzony
Zadanie 12.
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa \(a\), a krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha \). Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy i jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem \(\frac{\alpha}{2}\). Oblicz pole otrzymanego przekroju.