Jesteś tu: SzkołaGeometria przestrzennaOstrosłupyOstrosłup prawidłowy czworokątny

Ostrosłup prawidłowy czworokątny

Ostrosłup prawidłowy czworokątny - to taki ostrosłup, który ma w podstawie czworokąt foremny, czyli kwadrat. Wierzchołek takiego ostrosłupa leży dokładnie nad środkiem podstawy. W związku z tym ostrosłup prawidłowy czworokątny ma cztery identyczne ściany boczne, które są trójkątami równoramiennymi.
Spodek wysokości ostrosłupa leży na przecięciu przekątnych kwadratu w podstawie.
Wzór na pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego czworokątnego: \[P_c=P_p+P_b=a^2+4\cdot \frac{1}{2}ah=a^2+2ah\] gdzie:
\(P_p\) - pole podstawy ostrosłupa
\(P_b\) - suma pól ścian bocznych ostrosłupa
Wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego: \[V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3} a^2 H\] gdzie:
\(P_p\) - pole podstawy ostrosłupa
\(H\) - wysokość ostrosłupa
Kąt \(\alpha \) nachylenia ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy zaznaczony jest na rysunku:
C
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość \(5\) cm, a krawędź podstawy \(\sqrt{8}\) cm. Wówczas cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy:
\( \frac{\sqrt{2}}{5} \)
\( 0{,}6 \)
\( 0{,}4 \)
\( \frac{\sqrt{8}}{10} \)
C
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe \(100\) cm2, a jego pole powierzchni bocznej jest równe \(260\) cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
\(V=400\)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) i wierzchołku \(S\) trójkąt \(ACS\) jest równoboczny i ma bok długości \(8\). Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).
\(\sin \alpha =\frac{\sqrt{42}}{7}\)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDEFGH\) przekątna \(AC\) podstawy ma długość \(4\). Kąt \(ACE\) jest równy \(60^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCDE\) przedstawionego na poniższym rysunku.
\(V=\frac{32\sqrt{3}}{3}\)
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Pole trójkąta równoramiennego \(ACS\) jest równe \(120\) oraz \(|AC| : |AS| = 10 : 13\) . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
\(20\sqrt{313}\)
Piramida Cheopsa ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Każda ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem \(52^\circ \), a pole powierzchni ściany bocznej jest równe \(21\ 550 \) m2. Oblicz objętość piramidy. Wynik zapisz w postaci \(a\cdot 10k\), gdzie \(1\le a\lt 10\) i \(k\) jest liczbą całkowitą.
\(2{,}61\cdot 10^6\)
Piramida ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość jest równa \(6\), a długość krawędzi bocznej jest równa \(2\sqrt{15}\). Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej piramidy do podstawy.
\(60^\circ \)
Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(8\). Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(40^\circ \). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
\(V=\frac{1024}{3\operatorname{tg}^2 40^\circ }\)
Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(\sqrt{2}\). Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 6\(0^\circ \). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
\(V=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(1\), a wysokość jest równa \(2\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
\(P_c=1+\sqrt{17}\)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym objętość jest równa \(32\), zaś krawędź podstawy jest równa \(4\). Wysokość tego ostrosłupa jest równa:
\( \frac{2}{3} \)
\( \frac{4}{3} \)
\( 2 \)
\( 6 \)
D
Drut o długości \(96\) cm wykorzystano w całości na wykonanie szkieletu ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wszystkich krawędziach równej długości. Zaznacz na rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy i wyznacz cosinus tego kąta.
\(\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa \( 22 \), a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy \( \frac{4\sqrt{6}}{5} \). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
\(V=\frac{3200\sqrt{6}}{3}\)
Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\). Kątem między krawędzią \(CS\) a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa jest kąt
\( DCS \)
\( ACS \)
\( OSC \)
\( SCB \)
B
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna o polu równym \(10\) jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
\(V=\frac{20\sqrt{15}}{3}\)