Mnożenie macierzy

Jeżeli mnożymy macierz przez liczbę \(a\), to każdy element tej macierzy mnożymy przez liczbę \(a\).
\[5\cdot \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\[6pt] 7 & 11 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\cdot 1 & 5\cdot 3 & 5\cdot 4 \\[6pt] 5\cdot 7 & 5\cdot 11 & 5\cdot (-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 15 & 20 \\[6pt] 35 & 55 & -10 \end{bmatrix} \]
Tak samo w drugą stronę:
\[\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\[6pt] 7 & 11 & -2 \end{bmatrix}\cdot 3 = \begin{bmatrix} 1\cdot 3 & 3\cdot 3 & 4\cdot 3 \\[6pt] 7\cdot 3 & 11\cdot 3 & -2\cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 9 & 12 \\[6pt] 21 & 33 & -6 \end{bmatrix} \]
Jeżeli mnożymy macierz \(A\) przez macierz \(B\), to każdy wiersz macierzy \(A\) mnożymy przez każdą kolumnę macierzy \(B\).
W tym nagraniu pokazuję metodę mnożenia macierzy na przykładzie: \[\begin{bmatrix} -1 & -2 & 3\\ 0 & 2 & -1\\ -1 & 3 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 5 & 1\\ 2 & 1 & 2\\ 3 & 2 & 3 \end{bmatrix}\]
Czas nagrania: 5 min.
Mnożenie macierzy \(A\) i \(B\) możemy zapisać tak: \(A\cdot B\) albo krócej tak: \(AB\).
Własności mnożenia macierzy:
  • Mnożenie macierzy \(AB\) jest możliwe, tylko wtedy gdy: \[\text{liczba kolumn}\ A = \text{liczba wierszy}\ B\]
  • mnożenie macierzy jest łączne: \(A(BC)=(AB)C\)
  • mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania: \[A(B+C)=AB+AC\] oraz: \[(A+B)C=AC+BC\]
  • Mnożenie macierzy nie jest przemienne: \(AB\ne BA\)