Jesteś tutaj: SzkołaRównania i nierównościUkłady równańMetoda wyznaczników
◀ Metoda graficzna

Metoda wyznaczników

W tej metodzie oba równania muszą być zapisane w postaci \(ax+by=c\).
Jeżeli równania są zapisane inaczej, to musimy najpierw przekształcić je do takiej postaci.
Rozwiązanie układu równań metodą wyznaczników polega na policzeniu trzech wyznaczników i zastosowaniu dwóch wzorów. Prześledzimy cały algorytm na poniższym przykładzie.
Rozwiąż układ równań metodą wyznaczników: \[\begin{split} \begin{cases} 7x+2y=1\\ 3x+4y=2 \end{cases} \end{split}\]
Oba równania są już zapisane w postaci \(ax+by=c\).
Możemy zatem przejść do liczenia trzech wyznaczników \(W\), \(W_x\) oraz \(W_y\).
Dla ułatwienia zapiszemy nasz układ równań jeszcze raz, kolorując współczynniki liczbowe:
\[\begin{split} \begin{cases} \color{Red}{7}x+\color{Blue}{2}y=\color{Green}{1}\\ \color{Red}{3}x+\color{Blue}{4}y=\color{Green}{2} \end{cases} \end{split}\] Teraz nasze wyznaczniki budujemy z odpowiednich kolumn w taki sposób: \[ W=\begin{vmatrix} \color{Red}{7} & \color{Blue}{2}\\[6pt] \color{Red}{3} & \color{Blue}{4} \end{vmatrix} \qquad \qquad W_x=\begin{vmatrix} \color{Green}{1} & \color{Blue}{2}\\[6pt] \color{Green}{2} & \color{Blue}{4} \end{vmatrix} \qquad \qquad W_y=\begin{vmatrix} \color{Red}{7} & \color{Green}{1}\\[6pt] \color{Red}{3} & \color{Green}{2} \end{vmatrix} \] Obliczamy je, mnożąc liczby na krzyż i odejmując od siebie: \[\begin{split} &W=\begin{vmatrix} 7 & 2\\[6pt] 3 & 4 \end{vmatrix} =7\cdot 4-3\cdot 2=28-6=22\\[26pt] &W_x=\begin{vmatrix} 1 & 2\\[6pt] 2 & 4 \end{vmatrix} =1\cdot 4-2\cdot 2=4-4=0\\[26pt] &W_y=\begin{vmatrix} 7 & 1\\[6pt] 3 & 2 \end{vmatrix} =7\cdot 2-3\cdot 1=14-3=11 \end{split}\] Teraz obliczmy rozwiązania układu równań korzystając ze wzorów Cramera: \[\begin{split} &x=\frac{W_x}{W}=\frac{0}{22}=0\\[6pt] &y=\frac{W_y}{W}=\frac{11}{22}=\frac{1}{2} \end{split}\] Czyli rozwiązaniem układu równań jest para liczb: \[\begin{split} &x=0\\[6pt] &y=\frac{1}{2} \end{split}\]
Sąsiednie tematy