Jesteś tu: MaturaMatura - dodatkowe materiałyKurs do matury podstawowej z matematykiMatura podstawowa z matematyki - kurs - ciągi

Matura podstawowa z matematyki - kurs - ciągi

Ciąg \(a_n\) jest określony wzorem \(a_n=(-2)^{3n}\cdot (n^2-4)\) dla \(n\ge 1\). Wówczas
\( a_2=64 \)
\( a_2=0 \)
\( a_2=-64 \)
\( a_2=128 \)
B
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=\frac{n}{(-2)^n}\) dla \(n\ge 1\). Wówczas
\( a_3=\frac{1}{2} \)
\( a_3=-\frac{1}{2} \)
\( a_3=\frac{3}{8} \)
\( a_3=-\frac{3}{8} \)
D
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\sqrt{2n+4}\) dla \(n\ge 1\). Wówczas
\( a_8=2\sqrt{5} \)
\( a_8=8 \)
\( a_8=5\sqrt{2} \)
\( a_8=\sqrt{12} \)
A
Dany jest ciąg \( (a_n) \) określony wzorem \( a_n=(-1)^n\cdot \frac{2-n}{n^2} \) dla \( n\ge 1 \). Wówczas wyraz \( a_5 \) tego ciągu jest równy
\(-\frac{3}{25} \)
\(\frac{3}{25} \)
\(-\frac{7}{25} \)
\(\frac{7}{25} \)
B
Ciąg dany jest wzorem \(a_n=(-1)^n+\frac{n^2+n}{2n-1}\). Oblicz \(a_1\) i \(a_6\).
\(a_1=1\), \(a_6=\frac{53}{11}\)
Ciąg \(a_n\) jest określony wzorem \(a_n=(-3)^n\cdot (9-n^2)\) dla \(n\ge 1\). Wynika stąd, że
\( a_3=-81 \)
\( a_3=-27 \)
\( a_3=0 \)
\( a_3>0 \)
C
Ogólny wyraz nieskończonego ciągu \((a_n)\), gdzie \(n \in \mathbb{N}_+\), jest następujący: \(a_n=(n^2-2)(n^2-3n)\). Wszystkie miejsca zerowe ciągu \((a_n)\) tworzą zbiór:
\( \{-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}, 3\} \)
\( \{0, \sqrt{2}, 3\} \)
\( \{0, 3\} \)
\( \{3\} \)
D
Dany jest ciąg \( (a_n) \) określony wzorem \(a_n=\frac{2^n\cdot n^2}{1-n^2}\) dla \(n\ge 1\). Wówczas wyraz \(a_3\) tego ciągu jest równy
\( -7{,}2 \)
\( 7{,}2 \)
\( -9 \)
\( 9 \)
C
Suma \(n\) początkowych wyrazów pewnego ciągu liczbowego \((a_n)\) wyraża się wzorem \(S_n = 3n^2 + 8n\). Wyznacz dwa początkowe wyrazy ciągu \((a_n)\).
\(a_1=11\), \(a_2=17\)
Ciąg \((a_n)\) jest określony dla \(n\ge 1\) wzorem \(a_n=-n^2-4\sqrt{3}\) . Sprawdź którym wyrazem tego ciągu jest liczba \(-3^2-(2+\sqrt{3})^2\).
czwartym
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = 2n^2 - 9\) dla \(n \ge 1\)?
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)
C
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = n^2 - 2n - 24\) dla \(n \ge 1\)?
\(5\)
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=n^2-n\), dla \(n \ge 1\). Który wyraz tego ciągu jest równy \(6\)?
drugi
trzeci
szósty
trzydziesty
B
Ciąg \((b_n)\) określony jest wzorem \(b_n=(-1)^{2n+3}\cdot (n+1)\). Suma dwóch pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa:
\( -5 \)
\( -1 \)
\( 1 \)
\( 5 \)
A
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = -2n + 1\) dla \(n \ge 1\). Różnica tego ciągu jest równa
\( -1 \)
\( 1 \)
\( -2 \)
\( 3 \)
C
W ciągu arytmetycznym piąty wyraz jest równy \(8\), zaś siódmy wyraz tego ciągu jest równy \(14\). Dziesiąty wyraz tego ciągu jest równy:
\( 21 \)
\( 23 \)
\( 24 \)
\( 3 \)
B
Liczby \( 2,-1,-4 \) są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego \( (a_n) \) określonego dla liczb naturalnych \( n\ge 1 \). Wzór ogólny tego ciągu ma postać
\(a_n=-3n+5 \)
\(a_n=n-3 \)
\(a_n=-n+3 \)
\(a_n=3n-5 \)
A
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(3\), czwarty wyraz tego ciągu jest równy \(15\). Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
\(78\)
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są \(a_1=2\) i \(a_2=4\). Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
\( 30 \)
\( 110 \)
\( 220 \)
\( 2046 \)
B
Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \( (a_n) \) jest równa \( 35 \). Pierwszy wyraz \( a_1 \) tego ciągu jest równy \( 3 \). Wtedy
\(a_{10}=\frac{7}{2} \)
\(a_{10}=4 \)
\(a_{10}=\frac{32}{5} \)
\(a_{10}=32 \)
B
O pewnym ciągu arytmetycznym wiadomo, że ma dziesięć wyrazów. Suma jego wyrazów o numerach nieparzystych jest równa \(75\), a suma wyrazów o numerach parzystych jest równa \(90\). Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.
\(a_1=3\)
Pan Jan spłacał kredyt w wysokości \(12\ 000\)  zł w sześciu ratach, z których każda kolejna była o \(500\) zł mniejsza od poprzedniej. Pierwsza rata była równa:
\( 2750 \)
\( 3000 \)
\( 3250 \)
\( 3500 \)
C
Miary kątów trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Najmniejszy kąt tego trójkąta ma miarę \(40^\circ \). Różnica ciągu arytmetycznego wynosi:
\( 10^\circ \)
\( 20^\circ \)
\( 30^\circ \)
\( 40^\circ \)
B
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są: \(a_3=13\) i \(a_5=39\). Wtedy wyraz \(a_1\) jest równy
\( 13 \)
\( 0 \)
\( -13 \)
\( -26 \)
C
Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \( 20^\circ \) . Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę
\(40^\circ \)
\(50^\circ \)
\(60^\circ \)
\(70^\circ \)
C
Ciąg \((9, x, 19)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((x, 42, y, z)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).
\(x=14\), \(y=126\), \(z=378\)
Liczby \(x + 1, 2x + 2, 8\) są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).
\(x=\frac{5}{3}\)
Liczby \(x-1,\ 4,\ 8\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa
\( 3 \)
\( 1 \)
\( -1 \)
\( -7 \)
B
Liczby \(2, x-3, 8\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).
\(x=7\)
Wyrazami ciągu arytmetycznego \((a_n)\) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez \(5\) dają resztę \(2\). Ponadto \(a_3 = 12\). Oblicz \(a_{15}\).
\(a_{15}=72\)
Liczby \(x, 4, x+2\) są w podanej kolejności drugim, trzecim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa
\( 2 \)
\( 3 \)
\( 6 \)
\( 1 \)
B
Ciąg \((a_n)\) określony dla \(n\ge 1\) jest arytmetyczny oraz \(a_3=10\) i \(a_4=14\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
\( a_1=-2 \)
\( a_1=2 \)
\( a_1=6 \)
\( a_1=12 \)
B
Liczby \(7, a, 49\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy \(a\) jest równe
\( 14 \)
\( 21 \)
\( 28 \)
\( 42 \)
C
Trzydziesty wyraz ciągu arytmetycznego \( (a_n) \) jest równy \(4\), a trzydziesty piąty wyraz tego ciągu jest równy \(7\). Wówczas różnica ciągu \( (a_n) \) jest równa
\( 5 \)
\( 3 \)
\( \frac{5}{3} \)
\( \frac{3}{5} \)
D
Liczby \(2, \log_{\frac{1}{2}}x, 8\) są (w podanej kolejności) wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz \( x \).
\(x=\frac{1}{32}\)
Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \( 20^\circ \). Największy kąt tego czworokąta ma miarę:
\(150^\circ \)
\(135^\circ \)
\(120^\circ \)
\(60^\circ \)
C
Dany jest ciąg arytmetyczny \( (a_n) \) określony dla \( n\ge 1 \), w którym \( a_5=22 \) oraz \( a_{10}=47 \). Oblicz pierwszy wyraz \( a_1 \) i różnicę \( r \) tego ciągu.
\(a_1=2\), \(r=5\)
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) mamy \(a_3 = 5\) i \(a_4 = 15\). Wtedy wyraz \(a_5\) jest równy.
\( 10 \)
\( 20 \)
\( 75 \)
\( 45 \)
D
Dany jest ciąg geometryczny \( (a_n) \) , w którym \( a_1=64 \) i \( q=-\frac{1}{2} \). Wówczas
\(a_5=-4 \)
\(a_5=4 \)
\(a_5=2 \)
\(a_5=-2 \)
B
Ciąg geometryczny \( (a_n) \) określony jest wzorem \( a_n=\frac{3^n}{4} \). Iloraz tego ciągu jest równy:
\(3 \)
\(\frac{3}{4} \)
\(\frac{1}{3} \)
\(\frac{1}{4} \)
A
Ciąg geometryczny \( (a_n) \) określony jest wzorem \( a_n=-\frac{3^n}{4} \) dla \( n\ge 1 \). Iloraz tego ciągu jest równy
\(-3 \)
\(-\frac{3}{4} \)
\(\frac{3}{4} \)
\(3 \)
D
Liczby \(2;\ 2x-1;\ 0{,}5\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem monotonicznego ciągu geometrycznego dla
\( x=0 \)
\( x=0 \) lub \(x=1\)
\( x=1 \)
\( x=-1 \)
C
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są: \(a_1=36\), \(a_2=18\). Wtedy
\( a_4=-18 \)
\( a_4=0 \)
\( a_4=4{,}5 \)
\( a_4=144 \)
C
Ciąg \((2\sqrt{2},4,a)\) jest geometryczny. Wówczas
\( a=8\sqrt{2} \)
\( a=4\sqrt{2} \)
\( a=8-2\sqrt{2} \)
\( a=8+2\sqrt{2} \)
B
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są: \(a_1 = 3\) i \(a_4 = 24\). Iloraz tego ciągu jest równy
\( 8 \)
\( 2 \)
\( \frac{1}{8} \)
\( -\frac{1}{2} \)
B
Liczby \(2x, 16, x\) są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(x\).
\(x=8\sqrt{2}\) lub \(x=-8\sqrt{2}\)
Liczby \(12, 18, 2x + 1\) są, w podanej kolejności, odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wynika stąd, że
\( x=11\frac{1}{2} \)
\( x=12 \)
\( x=12\frac{1}{2} \)
\( x=13 \)
D
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są \(a_2=\frac{\sqrt{3}}{2}\) i \(a_3=-\frac{3}{2}\). Wtedy wyraz \(a_1\) jest równy
\( -\frac{1}{2} \)
\( \frac{1}{2} \)
\( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \frac{\sqrt{3}}{3} \)
A
Liczby \(64, x, 4\) są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.
\(a_5=\frac{1}{4}\)
Liczby \(-8,\ 4,\ x+1\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa.
\( -3 \)
\( -1{,}5 \)
\( 1 \)
\( 15 \)
A
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) są dane: \(a_2=-1, q=-2\). Suma czterech kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
\( 2{,}5 \)
\( -7{,}5 \)
\( -2{,}5 \)
\( 7{,}5 \)
C
Ciąg \((27, 18, x+5)\) jest geometryczny. Wtedy
\( x=4 \)
\( x=5 \)
\( x=7 \)
\( x=9 \)
C
Liczby \(3x−4\), \(8\), \(2\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wtedy
\( x=-6 \)
\( x=0 \)
\( x=6 \)
\( x=12 \)
D
Ciąg \( (2x – 1, y, 6x + 3)\ \) jest arytmetyczny, a ciąg \( (3, y, 27)\ \) jest geometryczny rosnący. Oblicz \(x\) i \(y\).
\(x=2\), \(y=9\)
Liczby: \( x-2,\ 6,\ 12 \), w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba \( x \) jest równa
\(0 \)
\(2 \)
\(3 \)
\(5 \)
D
Trzy lata temu pewne miasteczko liczyło \(25\ 000\) mieszkańców. Przez trzy ostatnie lata każdego roku liczba mieszkańców zmniejszyła się o \(10\%\). Oblicz, ile osób mieszka w tym miasteczku.
\(18225\)
Suma \(S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n\) początkowych \(n\) wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest określona wzorem \(S_n = n^2 - 2n\). Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu.
\(a_n=2n-3\)