Jesteś tu: MaturaMatura - dodatkowe materiałyKurs do matury podstawowej z matematykiMatura podstawowa - kurs - liczby rzeczywiste

Matura podstawowa - kurs - liczby rzeczywiste

Podstawa programowa Ministerstwa Edukacji do nowej matury (od 2015 roku) zakłada, że uczeń:
przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg);
oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych);
posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach;
oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych;
wykorzystuje podstawowe własności potęg (również w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy, np. fizyką, chemią, informatyką);
wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym;
oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia;
posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;
wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok).
W tej części kursu przećwiczymy dokładnie wszystkie powyższe zagadnienia.

Ułamiki, potęgi i pierwiastki

Wzory przydatne w tym dziale znajdziesz w tablicach maturalnych na stronie nr 1.
Najważniejsze wiadomości:
Ułamki zwykłe dodajemy i odejmujemy sprowadzając do wspólnego mianownika, np.: \[\frac{1}{2}+\frac{3}{5}=\frac{5}{10}+\frac{6}{10}=\frac{11}{10}\]
Ułamki zwykłe można zamienić na dziesiętne (okresowe) dzieląc na kalkulatorze licznik przez mianownik, np.: \[\frac{21}{45} = 21:45 = 0{,}4666666... = 0{,}4(6)\]
Wzory do wykonywania działań na potęgach:
Definicja potęgi o wykładniku naturalnym \[a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot...\cdot a}_{n \text{ razy}}\]
Wzory na potęgi o wykładnikach wymiernych \[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad (\text{dla }a\ne 0)\\[16pt] a^{\tfrac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\quad (\text{dla }a\ge 0)\\[16pt] a^{\tfrac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^k}\quad (\text{dla }a\ge 0)\\[16pt] a^{-\tfrac{k}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^k}}\quad (\text{dla }a\gt 0)\\[16pt] \]
Wzory działań na potęgach \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}\\[16pt] \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\\[16pt] a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n\\[16pt] \frac{a^n}{b^n}=\left (\frac{a}{b}\right )^n\\[16pt] \left(a^m \right)^n=a^{m\cdot n} \]
Wzory działań na pierwiastkach \[ \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\\[16pt] \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} \] Działania na bardziej skomplikowanych pierwiastkach wykonujemy najczęściej zamieniając pierwiastki na potęgi. \[ \sqrt[n]{a}=a^{\tfrac{1}{n}}\\[16pt] \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[m]{a}=a^{\tfrac{1}{n}}\cdot a^{\tfrac{1}{m}}=a^{\tfrac{1}{n}+\tfrac{1}{m}}\\[16pt] \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}} =\frac{a^{\tfrac{1}{n}}}{a^{\tfrac{1}{m}}} =a^{\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{m}}\\[16pt] \]
Wartość wyrażenia \(\frac{\frac{3}{4}-\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}\) jest równa
\( 1 \)
\( \frac{1}{2} \)
\( \frac{1}{12} \)
\( \frac{1}{72} \)
B
W tym nagraniu wideo pokazuję jak wykonywać działania na potęgach o wykładniku wymiernym.
Przez pierwsze 8 minut nagrania przypominam również zasady wykonywania działań na potęgach o wykładniku całkowitym.
Liczba \( 3^{30}\cdot 9^{90} \) jest równa:
\(3^{210} \)
\(3^{300} \)
\(9^{120} \)
\(27^{2700} \)
A
Liczba \(2^{20}\cdot 4^{40}\) jest równa
\( 2^{60} \)
\( 4^{50} \)
\( 8^{60} \)
\( 8^{800} \)
B
Iloczyn \(81^2\cdot 9^4\) jest równy
\( 3^4 \)
\( 3^0 \)
\( 3^{16} \)
\( 3^{14} \)
C
Iloraz \(125^5:5^{11}\) jest równy
\(5^{-6}\)
\(5^{16}\)
\(25^{-6}\)
\(25^2\)
D
Liczba \(\frac{7^6\cdot 6^7}{42^6}\) jest równa
\( 42^{36} \)
\( 42^7 \)
\( 6 \)
\( 1 \)
C
Liczba \(\frac{4^5\cdot 5^4}{20^4}\) jest równa
\( 4^4 \)
\( 20^{16} \)
\( 20^5 \)
\( 4 \)
D
Liczba \(128^{-4}:\left ( \frac{1}{32} \right )^4\) jest równa
\( 4^{-4} \)
\( 2^{-4} \)
\( 2^4 \)
\( 4^4 \)
A
Liczba \(\left (\frac{2^{-2}\cdot 3^{-1}}{2^{-1}\cdot 3^{-2}} \right )^0\) jest równa
\( 1 \)
\( 4 \)
\( 9 \)
\( 36 \)
A
Liczba \( \frac{1}{2}\cdot 2^{2014} \) jest równa
\(2^{2013} \)
\(2^{2012} \)
\(2^{1007} \)
\(1^{2014} \)
A
Trzecia część liczby \(3^{150}\) jest równa:
\( 1^{50} \)
\( 1^{150} \)
\( 3^{50} \)
\( 3^{149} \)
D
Liczbę \(x=2^2\cdot 16^{-4}\) można zapisać w postaci
\( x=2^{14} \)
\( x=2^{-14} \)
\( x=32^{-2} \)
\( x=2^{-6} \)
B
Liczba \( 3^{\frac{8}{3}}\cdot \sqrt[3]{9^2} \) jest równa:
\(3^3 \)
\(3^{\frac{32}{9}} \)
\(3^4 \)
\(3^5 \)
C
Liczba \(\sqrt[3]{{(-8)}^{-1}}\cdot {16}^{\frac{3}{4}}\) jest równa
\( -8 \)
\( -4 \)
\( 2 \)
\( 4 \)
B
Liczbę \(\sqrt{32}\) można przedstawić w postaci
\( 8\sqrt{2} \)
\( 12\sqrt{3} \)
\( 4\sqrt{8} \)
\( 4\sqrt{2} \)
D
Liczba \(7^{\frac{4}{3}}\cdot \sqrt[3]{7^5}\) jest równa
\( 7^{\frac{4}{5}} \)
\( 7^3 \)
\( 7^{\frac{20}{9}} \)
\( 7^2 \)
B
Liczba \(\sqrt[3]{(27)^{-1}}\cdot 72^0\) jest równa
\( \frac{1}{3} \)
\( -\frac{1}{3} \)
\( 0 \)
\( 3 \)
A
Wyrażenie \(\sqrt{1{,}5^2+0{,}8^2}\) jest równe:
\( 2{,}89 \)
\( 2{,}33 \)
\( 1{,}89 \)
\( 1{,}70 \)
D
Liczba \(\frac{5^3\cdot 25}{\sqrt{5}}\) jest równa
\( 5^5\sqrt{5} \)
\( 5^4\sqrt{5} \)
\( 5^3\sqrt{5} \)
\( 5^6\sqrt{5} \)
B
Liczba \(\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[6]{3}\) jest równa
\( \sqrt[9]{3} \)
\( \sqrt[18]{3} \)
\( \sqrt[18]{6} \)
\( \sqrt{3} \)
D
Wartość wyrażenia \(5^{100}+5^{100}+5^{100}+5^{100}+5^{100}\) jest równa
\( 5^{500} \)
\( 5^{101} \)
\( 25^{100} \)
\( 25^{500} \)
B
Wyrażenie \(2\sqrt{50}-4\sqrt{8}\) zapisane w postaci jednej potęgi wynosi
\( 2^{\frac{3}{2}} \)
\( 2^{\frac{1}{2}} \)
\( 2^{-1} \)
\( 4^{\frac{1}{2}} \)
A
Liczba \(\frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\) jest równa
\( 2\sqrt{2} \)
\( 2 \)
\( 4 \)
\( \sqrt{10}-\sqrt{6} \)
B
Liczba \( \left ( \frac{1}{\left (\sqrt[3]{729}+\sqrt[4]{256}+2 \right)^0} \right )^{-2} \) jest równa
\(\frac{1}{225} \)
\(\frac{1}{15} \)
\(1 \)
\(15 \)
C
Liczba \(\frac{\sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}}{\left (\frac{2}{7} \right)^{-1}}\) jest równa
\( -1 \)
\( \frac{4}{49} \)
\( -2\frac{1}{4} \)
\( 1 \)
D
Liczba \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\) jest równa
\( \sqrt[6]{3} \)
\( \sqrt[4]{3} \)
\( \sqrt[3]{3} \)
\( \sqrt{3} \)
D
Liczbą odwrotną do liczby \(5\frac{3}{11}-2\frac{1}{11}\cdot \sqrt[3]{-8}\) jest
\( \frac{11}{70} \)
\( \frac{11}{104} \)
\( -\frac{11}{104} \)
\( -\frac{70}{11} \)
B
Liczba \(0{,}(70)\) jest równa liczbie
\( \frac{7}{10} \)
\( \frac{70}{99} \)
\( \frac{7}{9} \)
\( \frac{77}{99} \)
B
W rozwinięciu dziesiętnym ułamka \(\frac{2}{7}\) na trzydziestym miejscu po przecinku stoi cyfra
\( 7 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 4 \)
D
Liczbą większą od zera jest liczba
\( \frac{1}{3}-0{,}(3) \)
\( -\sqrt{3}+1\frac{7}{9} \)
\( 4\frac{2}{3}-4\sqrt{3\frac{1}{16}} \)
\( -2^2 \)
B
Licznik pewnego ułamka jest równy \(6\). Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o \(2\), a mianownik o \(3\), to wartość tego ułamka się nie zmieni. Jaki to ułamek?
\( \frac{6}{10} \)
\( \frac{6}{5} \)
\( \frac{6}{11} \)
\( \frac{6}{9} \)
D
Jeżeli do licznika i do mianownik nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy \(1\), to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.
\(\frac{8}{17}\)

Obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych

Wartości wyrażeń arytmetycznych obliczamy podstawiając wartość liczbową do danego wyrażenia, np.:
Wartość wyrażenia \(2x-6\) dla \(x=7\) jest równa: \(2\cdot 7-6=14-6=8\).
Wartość wyrażenia \((a-1)(a^2+a+1)\) dla \(a=\frac{3}{4}\) jest równa
\( -\frac{37}{64} \)
\( \frac{1}{4} \)
\( -\frac{1}{4} \)
\( 1\frac{27}{64} \)
A
Wyrażenie \((1 - 2x)^2 - 3(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2})\) dla \(x = 2\) przyjmuje wartość
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)
\( -5 \)
C
Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego \((a^2 - 16)(a + 2)\) dla \(a = \sqrt{2}\) wynosi
\( 56\sqrt{2} \)
\( 14(\sqrt{2}+2) \)
\( 56 \)
\( -14(\sqrt{2}+2) \)
D
Wyrażenie \(\frac{x-1}{x-2}\cdot \frac{x^2-4}{x^2-1}\) dla \(x=4\) ma wartość
\( 0 \)
\( 1\frac{1}{5} \)
\( \frac{3}{2} \)
\( 6 \)
B
Wartość liczbowa wyrażenia \(x^3y^2 - y^3x^2\) dla \(x = -1\) i \(y = -2\) wynosi
\( 0 \)
\( 4 \)
\( -4 \)
\( 12 \)
B

Logarytmy

Najważniejsze wzory:
\[\log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c)\] \[\log_ab-\log_ac=\log_a\left(\frac{b}{c}\right)\] \[n\cdot \log_ab=\log_a(b^n)=\log_{a^{\frac{1}{n}}}b\] \[a^{\log_ab}=b\] \[\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\]
W tym nagraniu wideo omawiam najważniejsze wiadomości dotyczące logarytmów.
Pokazuję najprostszą metodę obliczania logarytmów, omawiam wszystkie najważniejsze wzory związane z logarytmami, dziedzinę logarytmu oraz równania i nierówności logarytmiczne.
Suma \( \log_8 16+1 \) jest równa
\(\log_8 17 \)
\(\frac{3}{2} \)
\(\frac{7}{3} \)
\(3 \)
C
Liczba \(\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})\) jest równa
\( \frac{3}{2} \)
\( 2 \)
\( \frac{5}{2} \)
\( 3 \)
D
Liczba \( \log 24 \) jest równa:
\(2\log 2+\log 20 \)
\(\log 6+2\log 2 \)
\(2\log 6-\log 12 \)
\(\log 30-\log 6 \)
B
Liczba \(2\log 5 +\log 4\) jest równa
\( 2 \)
\( 2\log 20 \)
\( \log 40 \)
\( 10 \)
A
Liczba \(2\log_5 10 - \log_5 4\) jest równa
\( 2 \)
\( \log_5 96 \)
\( 2\log_5 6 \)
\( 5 \)
A
Wartość wyrażenia \(\log_50{,}04-\frac{1}{2}\log_{25}1\) jest równa
\( -3 \)
\( -2\frac{1}{4} \)
\( -2 \)
\( 0 \)
C
Wartość wyrażenia \(\log_3\frac{3}{2}+\log_3\frac{2}{9}\) jest równa
\( -1 \)
\( -2 \)
\( \log_3\frac{5}{11} \)
\( \log_3\frac{31}{18} \)
A
Liczba \(\frac{\log_3729}{\log_636}\) jest równa
\( \log_6693 \)
\( 3 \)
\( \log_{\frac{1}{2}}\frac{81}{4} \)
\( 4 \)
B
Liczba \( \left ( \log_{\sqrt{3}}3\sqrt{3} \right )^4 \) jest równa
\(12 \)
\(6 \)
\(9 \)
\(81 \)
D
Liczba \( c=\log_{3}2 \). Wtedy
\(c^3=2 \)
\(3^c=2 \)
\(3^2=c \)
\(c^2=3 \)
B