Matura - najważniejsze wzory spoza tablic

Własności liczb

Cechy podzielności liczb:

• przez \(2\), jeśli jest parzysta.
• przez \(3\), jeżeli suma jej cyfr dzieli się przez \(3\).
• przez \(5\), jeżeli jej ostatnia cyfra dzieli się przez \(5\).
• przez \(6\), jeśli jest parzysta i suma jej cyfr jest podzielna przez \(3\).
• przez \(9\), jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez \(9\).

Sposób zapisywania liczby:

• parzystej: \(2k\), gdzie \(k\in \mathbb{Z} \)
• nieparzystej: \(2k+1\) lub \(2k-1\), gdzie \(k\in \mathbb{Z} \)

Funkcje

Definicje pojęć, których nie ma w tablicach:

• dziedzina - to zbiór wszystkich \(x\)-ów funkcji
• zbiór wartości - to zbiór wszystkich\(y\)-ów funkcji
• miejsce zerowe - to argument \(x\), dla którego funkcja przecina się z osią \(x\)-ów. Gdy mamy wzór funkcji \(f(x) = wzór\), to miejsca zerowe wyliczamy rozwiązując równanie: \[wzór = 0\]
• numery ćwiartek w układzie współrzędnych:
• oś odciętych - to oś \(x\)-ów
• oś rzędnych - to oś \(y\)-ów

Funkcja kwadratowa

Do informacji, które są podane w tablicach maturalnych warto dodać, że:

• Funkcja kwadratowa dana wzorem ogólnym \(f(x)=ax^2+bx+c\) przecina oś \(y\)-ów w wartości równej \(c\) (ponieważ \(f(0)=c\)).
• Jeśli funkcja kwadratowa \(f(x)\) ma dwa miejsca zerowe: \(x_1\) oraz \(x_2\), to wierzchołek paraboli \(W=(p,q)\) ma współrzędną \(x\)-ową \(p\) dokładnie po środku między miejscami zerowymi, czyli: \[p=\frac{x_1+x_2}{2}\] Natomiast współrzędną \(q\) można obliczyć zawsze tak: \[q=f(p)\]
• Żeby znaleźć minimum lub maksimum funkcji w przedziale \(\langle a,b \rangle \) należy policzyć \(f(a)\) i \(f(b)\) oraz sprawdzić czy współrzędna \(x\)-owa wierzchołka \(p\) należy do przedziału \(\langle a,b \rangle \). Jeśli tak, to policzyć \(f(p)\) i z wartości \(f(a)\), \(f(b)\) i \(f(p)\) wybrać wartość najmniejszą lub największą.

Dokładne omówienie funkcji znajdziesz tutaj: Kurs podstawowy - funkcje.

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Z ciągu arytmetycznego mamy podany w tablicach wzór na \(n\)-ty wyraz postaci: \(a_n=a_1+(n-1)\cdot r\).
Warto znać również wzrór wykorzystujący dowolny \(k\)-ty wyraz zamiast \(1\)-szego: \[a_n=a_k+(n-k)\cdot r\] Podobnie dla ciągu geometrycznego mamy podany wzór: \(a_n = a_1\cdot q^{n-1}\), a można również stosować taki wzór uogólniony: \[a_n = a_k\cdot q^{n-k}\] Dokładne omówienie ciągów znajdziesz tutaj: Kurs podstawowy - ciągi.

Kapitalizacja odsetek

W tablicach maturalnych mamy podany wzór na kapitalizację odsetek: \[K_n = K\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)^n\] Jeżeli w ciągu roku mamy \(k\) kapitalizacji odsetek to stosujemy wzór: \[K_n = K\cdot \left(1+\frac{p}{100\cdot k}\right)^{n\cdot k}\] gdzie: Przykłady zastosowania tego wzoru prezentuję na tej stronie.

Geometria płaska

Warto pamiętać często stosowany wzór na przekątną kwadratu:

Dla trójkąta równobocznego: wato pamiętać o własności: \[R=2r\] W tablicach maturalnych mamy to podane w postaci: \[R = \frac{2}{3}h\\[6pt] r = \frac{1}{3}h\] gdzie \(h\) - to wysokość trójkąta równobocznego.
Inaczej mówiąc - wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w stosunku \(2:1\).

Dla trójkąta prostokątnego: warto pamiętać, że środek okręgu opisanego leży dokładnie na środku przeciwprostokątnej.

Własności trójkąta \(30^\circ \), \(60^\circ \), \(90^\circ \):

W trapezie zachodzi następująca własność: Odcinek łączący środki ramion jest równoległy do podstaw i ma długość: \[x=\frac{a+b}{2}\]

Wzór na sumę kątów wewnętrznych w \(n\)-kącie: \[(n-2)\cdot 180\]

Równość odcinków do punktów styczności, w szczególności w przypadku okręgu wpisanego w trójkąt: