Matura - kurs ekspres
Poziom podstawowy
Na tej stronie umieszczam wyselekcjonowane typy zadań, które można opanować najszybciej i przygotować się do matury w kilka dni. Omówienie i rozwiązania 22 typowych zadań maturalnych.
Zadanie 1. (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\bigl(\sqrt{45}+\sqrt{5}\bigr)^{2}\) jest równa A.\(50\)
B.\(60\)
C.\(70\)
D.\(80\)
Zadanie 2. (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(27\cdot \sqrt[4]{81^2}\) jest równa A.\(3^3\)
B.\(3^{5}\)
C.\(3^{7}\)
D.\(3^{10}\)
Zadanie 3. (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\frac{3^{300}+3^{301}+3^{302}}{3^{303}}\) jest równa A.\(\frac{1}{3}\)
B.\(1\)
C.\(\frac{13}{27}\)
D.\(9\)
Zadanie 4. (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\log_{6}48-3\log_{6}2\) jest równa A.\(0\)
B.\(1\)
C.\(\log_{6}40\)
D.\(\log_{6}46\)
Zadanie 5. (1 pkt)
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
| Różnica \(2 - \log_{3}5\) jest równy \(\frac{9}{5}\). | P | F |
| Suma \(2+\log_{3}5\) jest równa \(\log_{3}45\). | P | F |
Zadanie 6. (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \(\bigl(2x+1\bigr)^{2}-\bigl(2x-1\bigr)^{2}\) jest równa wartości wyrażenia A.\(4x^2\)
B.\(8x\)
C.\(4x^2-8x\)
D.\(0\)
Zadanie 7. (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dana jest nierówność \[ 1-\frac{2x-3}{5}\lt 3x. \] Najmniejszą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest A.\(1\)
B.\(2\)
C.\(3\)
D.\(4\)
Zadanie 8. (1 pkt)
Dana jest nierówność \[ \frac{7-2x}{25}-16\leqslant -15 \]
Dana jest nierówność \[ \frac{7-2x}{25}-16\leqslant -15 \]
Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zadanie 9. (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie \(2x\bigl(x-4\bigr)^{2}\bigl(x-9\bigr)\bigl(x^{2}+9\bigr)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. dwa rozwiązania.
B. trzy rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.
Zadanie 10. (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(2\) oraz różnej od \((-3)\) wartość wyrażenia \[ \frac{x^{2}-9}{x^{2}-4x+4}\cdot\frac{x-2}{x+3} \] jest równa wartości wyrażenia A.\(\frac{x-3}{x-2}\)
B.\(\frac{x-3}{(x-2)^{2}}\)
C.\(\frac{x+3}{x-2}\)
D.\(\frac{x-3}{x+2}\)
Zadanie 11. (4 pkt)
Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[ f(x)= \begin{cases} -x-2 & \text{dla } x\in(-4,-2],\\ 1 & \text{dla } x\in(-2,1],\\ x-1 & \text{dla } x\in(1,4). \end{cases} \] Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.
Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[ f(x)= \begin{cases} -x-2 & \text{dla } x\in(-4,-2],\\ 1 & \text{dla } x\in(-2,1],\\ x-1 & \text{dla } x\in(1,4). \end{cases} \] Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
- Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział ............
- Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział ............
- Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest ............
- Funkcja \(f\) jest malejąca na przedziale ............
- Funkcja \(f\) jest rosnąca na przedziale ............
- Wartość \(1\) funkcja \(f\) osiąga dla argumentów: ............
- Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości niedodatnie, jest przedział ............
- Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\gt f(0)\) jest przedział ............
Zadanie 12. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność \[ x(x-6)\lt -9. \]
Zadanie 13. (3 pkt)
Rozwiąż równanie \[\frac{x}{2x+3}=\frac{x-2}{x+1}\] Zapisz konieczne założenie i obliczenia.
Zadanie 14. (1 pkt)
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(2m+1)x-3m^2\), gdzie \(m\) jest liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że funkcja \(f\) jest niemalejąca.
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(2m+1)x-3m^2\), gdzie \(m\) jest liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że funkcja \(f\) jest niemalejąca.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(m\) należy do przedziału A.\(\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\)
B.\((-1,1)\)
C.\(\left(-\frac{1}{2},+\infty \right)\)
D.\(\left[-\frac{1}{2},+\infty \right)\)
Zadanie 15. (3 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji kwadratowej \(f\) przechodzi przez punkt \((5,0)\). Osią symetrii tego wykresu jest prosta \(x=1\). Najmniejsza wartość tej funkcji to \((-1)\)
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji kwadratowej \(f\) przechodzi przez punkt \((5,0)\). Osią symetrii tego wykresu jest prosta \(x=1\). Najmniejsza wartość tej funkcji to \((-1)\)
Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci iloczynowej oraz kanonicznej. Zapisz obliczenia.
Zadanie 16. (2 pkt)
Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest określony następująco: \[ \left\{\begin{array}{l} a_{1}=2 \\ a_{n+1}=a_{n}^2+1 \end{array} \right. \] dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).
Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest określony następująco: \[ \left\{\begin{array}{l} a_{1}=2 \\ a_{n+1}=a_{n}^2+1 \end{array} \right. \] dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).
Oblicz wartość wyrażenia \(\sqrt{\frac{1-a_3}{-(a_2)^2}}\).
Zadanie 17. (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzywyrazowy ciąg \(\left(2m,\,-\frac{1}{2},\,m^2\right)\) jest arytmetyczny, gdy liczba \(m\) jest równa A.\((-3)\)
B.\((-2)\)
C.\((-1)\)
D.\(1\)
Zadanie 18. (2 pkt)
W ciągu arytmetycznym \(\left(a_{n}\right)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), dane są wyrazy: \(a_{1}=2\) oraz \(a_{11}=7\). Oblicz sumę \(13\) początkowych wyrazów tego ciągu.
W ciągu arytmetycznym \(\left(a_{n}\right)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), dane są wyrazy: \(a_{1}=2\) oraz \(a_{11}=7\). Oblicz sumę \(13\) początkowych wyrazów tego ciągu.
Zadanie 19. (1 pkt)
Wyznacz wartość \(m\), dla której trzywyrazowy ciąg \[ \left(2, \sqrt{3}\cdot m,m^2+2\right) \] jest geometryczny i rosnący. Zapisz obliczenia.
Wyznacz wartość \(m\), dla której trzywyrazowy ciąg \[ \left(2, \sqrt{3}\cdot m,m^2+2\right) \] jest geometryczny i rosnący. Zapisz obliczenia.
Zadanie 20. (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W?kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkt \(P=(5,-5)\) leży na okręgu \(\mathcal{O}\) o środku w punkcie \(S=(3,-5)\). Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem A.\((x-3)^{2}+(y-5)^{2}=2\)
B.\((x-3)^{2}+(y+5)^{2}=4\)
C.\((x+3)^{2}+(y+5)^{2}=2\)
D.\((x+3)^{2}+(y+5)^{2}=4\)
Zadanie 21. (1 pkt)
Na okręgu o środku w punkcie \(O\) wybrano trzy punkty \(A\), \(B\), \(C\) tak, że, \(|\sphericalangle AOB|=70^\circ \), \(|\sphericalangle OAC|=25^\circ \). Cięciwa \(AC\) przecina promień \(OB\) (zobacz rysunek). Wtedy miara \(\sphericalangle OBC\) jest równa
Na okręgu o środku w punkcie \(O\) wybrano trzy punkty \(A\), \(B\), \(C\) tak, że, \(|\sphericalangle AOB|=70^\circ \), \(|\sphericalangle OAC|=25^\circ \). Cięciwa \(AC\) przecina promień \(OB\) (zobacz rysunek). Wtedy miara \(\sphericalangle OBC\) jest równa
A.\( \alpha =25^\circ \)
B.\( \alpha =60^\circ \)
C.\( \alpha =70^\circ \)
D.\( \alpha =85^\circ \)
Zadanie 22. (1 pkt)
Średnia arytmetyczna dwóch liczb: \(x, y\), jest równa \(7\).
Średnia arytmetyczna dwóch liczb: \(x, y\), jest równa \(7\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średnia arytmetyczna sześciu liczb: \(x, 5, 6, 2x+y, 2, 2y-1\), jest równa A.\(7\)
B.\(8\)
C.\(9\)
D.\(10\)
Zadanie 23. (1 pkt)
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
| Mediana zbioru liczb \(2,3,3,4,5,5,5,6\) jest równa \(4\) | P | F |
| Iloczyn mediany i dominanty zbioru liczb \(2,3,3,4,5,5,5,6\) jest równa \(22,5\) | P | F |