Matura 2025 sierpień

Liczba \(\lvert \sqrt{5}-3\rvert+\lvert \sqrt{5}-1\rvert\) jest równa

Liczba \(\dfrac{25^{-2}}{125^{-4}}\) jest równa

Liczba \(\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{192}\) jest równa

Liczba \(\log_{3}2-\log_{3}18\) jest równa

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) wartość wyrażenia \((3x+y)^{2}-(3x-y)^{2}\) jest równa wartości wyrażenia

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \[ 3-x\ge \frac{5x-1}{2} \] jest przedział

Dane jest równanie \[ \frac{3}{3x-7}=\frac{5x}{x-8},\quad \text{gdzie } x\ne \frac{7}{3} \text{ i } x\ne 8. \]

Suma wszystkich rozwiązań równania \((3x-12)(10+5x)(x-3)=0\) jest równa

Właściciel restauracji kupił \(75\) kilogramów pomidorów: \(x\) kg pomidorów malinowych w cenie \(11\) złotych za kilogram oraz \(y\) kg pomidorów cherry w cenie \(7{,}98\) złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie \(752{,}52\) złotych.

Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[ f(x)= \begin{cases} -2x-10 & \text{dla } x\in(-5,-3],\\ x-1 & \text{dla } x\in(-3,4]. \end{cases} \] Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

1. Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba ……… .
2. Wartość wyrażenia \(f(-2)+3\cdot f(2)\) jest równa ……… .

1. Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział ………………… .
2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\lt -2\) jest przedział ………………… .

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(g\) jest liczba \((-3)\). Dla argumentu \(0\) funkcja \(g\) przyjmuje wartość \(\left(-\frac{3}{2}\right)\). Funkcja \(g\) jest określona wzorem

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}+bx+c\), gdzie \(b\) oraz \(c\) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(6\). W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta o równaniu \(x=1\) jest osią symetrii wykresu funkcji \(f\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem

Współczynnik \(b\) we wzorze funkcji \(f\) jest liczbą dodatnią.	P	F
Współczynnik \(c\) we wzorze funkcji \(f\) jest liczbą dodatnią.	P	F

Funkcja \(g\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(g(x)=f(x-3)\). Osią symetrii wykresu funkcji \(g\) jest prosta o równaniu

Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\frac{32\cdot(-1)^{n}}{2^{\,n-1}}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Szósty wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy

Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Różnica tego ciągu jest równa \((-4)\) oraz \(a_{10}=-24\). Szósty wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy

Ciąg geometryczny \((a_{n})\), o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od \(0\), jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(a_{3}=-8\cdot a_{6}\). Iloraz ciągu \((a_{n})\) jest równy

Trzywyrazowy ciąg \((\sqrt{5},\,1,\,x)\) jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg \((\sqrt{5},\,1,\,y)\) jest geometryczny. Liczby \(x\) oraz \(y\) spełniają warunki

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\cos\alpha=\frac{5}{13}\). Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Liczba \(\sin 30^\circ\cdot\cos 60^\circ+\sin 60^\circ\cdot\cos 30^\circ\) jest równa

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\) i o promieniu \(36\). Punkt \(S\) leży na odcinku \(BD\). Kąt \(BDA\) ma miarę \(40^\circ\), a kąt \(DBC\) ma miarę \(65^\circ\) (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego \(BSA\) jest równa

Długość łuku \(BC\), na którym jest oparty kąt wpisany \(CDB\), jest równa

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=6\), \(|AC|=4\) oraz \(|\angle CAB|=60^\circ\) (zobacz rysunek).

Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

Długość boku \(BC\) trójkąta \(ABC\) jest równa

Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) takich, że \(|AB|=2\cdot|CD|\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).

Pola trójkątów \(BCE\) oraz \(AED\) są równe.	P	F
Pole trójkąta \(ABE\) jest dwa razy większe od pola trójkąta \(CDE\).	P	F

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami \[ k:\; y=(3-m)x+5 \qquad l:\; y=(m+3)x-4 \] Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa ........... .

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu \[ \mathcal{O}:\ (x-1)^{2}+(y+3)^{2}=4 \]

Okrąg \(\mathcal{O}\) nie ma punktów wspólnych z osią \(Ox\) układu współrzędnych.	P	F
Okrąg \(\mathcal{O}\) ma z osią \(Oy\) układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne.	P	F

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\). Wysokość podstawy \(ABC\) jest równa \(2\sqrt{3}\). Przekątna \(AE\) ściany bocznej \(ABED\) tworzy z krawędzią \(AB\) kąt o mierze \(60^\circ\) (zobacz rysunek).

Objętość walca o promieniu podstawy \(2\) jest równa \(16\pi^{2}\). Wysokość tego walca jest równa

Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od \(500\), w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu \(2025\) roku.

Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie.

Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.

• Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ........ .
• Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ........ .
• Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi ........ procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.

Hotel ma do dyspozycji gości \(80\) pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że:

• przy wyjściowej cenie wynoszącej \(120\) zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte
• każdy wzrost ceny za dobę hotelową o \(5\) zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o \(1\).

Przyjmijmy, że dobowy przychód \(P\) hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o \(5x\) złotych, opisuje funkcja \[ P(x)=(80-x)(120+5x) \] gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(x\ge 0\) i \(x\le 80\).