Jesteś tutaj: MaturaArkusze 2022Matura 2022 maj PR
◀ Matura 2022 maj

Matura 2022 maj PR

Na tej stronie umieszczę rozwiązania zadań z matury rozszerzonej 11.05.2022.
Liczba \(\log_3\sqrt{27}-\log_{27}\sqrt{3}\) jest równa
A.\( \frac{4}{3} \)
B.\( \frac{1}{2} \)
C.\( \frac{11}{12} \)
D.\( 3 \)
A
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\ne 2\). Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu \(x=\frac{1}{2}\) jest równa
A.\( \frac{3}{4} \)
B.\( \frac{9}{4} \)
C.\( 3 \)
D.\( \frac{54}{8} \)
C
Jeżeli \(\cos \beta =-\frac{1}{3}\) i \(\beta \in \left(\pi ,\frac{3}{2}\pi \right)\), to wartość wyrażenia \(\sin \left(\beta -\frac{1}{3}\pi \right)\) jest równa
A.\( \frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6} \)
B.\( \frac{2\sqrt{6}+1}{6} \)
C.\( \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6} \)
D.\( \frac{1-2\sqrt{6}}{6} \)
A
Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne.
Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku - jedną kulę z drugiej urny.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe
A.\( \frac{5}{14} \)
B.\( \frac{9}{14} \)
C.\( \frac{5}{7} \)
D.\( \frac{6}{7} \)
A
Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) wzorem \(a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}\), gdzie \(p\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią.
Oblicz wartość \(p\), dla której granica ciągu \(a_n\) jest równa \(\frac{4}{3}\). W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
   
\(4 1 1\)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(2x\gt y\), spełniona jest nierówność \[7x^3+4x^2y\ge y^3+2xy^2-x^3\]
Rozwiąż równanie: \[|x-3|=2x+11\]
\(x=-\frac{8}{3}\)
Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o \(2\) mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(CPD\) jest o \(3\) mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(APB\). Wykaż, że spełniony jest warunek \(|DP|^2+|CP|^2-|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|\).
Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)x-2m\) przez dwumian \(x+2\) jest równa \((−30)\). Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x)\ge 0\).
\(x\in \left\langle -1,-\frac{1}{2} \right\rangle\cup \langle 3,+\infty ) \)
Ciąg \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto \(a_1 = 675\) i \(a_{22} =\frac{5}{4}a_{23}+\frac{1}{5}a_{21}\).
Ciąg \((b_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((b_n)\). Ponadto \(a_3=b_4\). Oblicz \(b_1\).
\(129\)
Rozwiąż równanie \(\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0\) w przedziale \(\langle0,\pi \rangle \).
\(x=0\), \(x=\frac{\pi}{2}\), \(x=\frac{2\pi}{3}\), \(x=\pi\)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[x^2-(m+1)x+m=0\] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \[x_1\ne 0,\ \ x_2\ne 0 \ \ \text{oraz}\ \ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\]
\(m=-1\lor m=\frac{1}{2}\)
Dany jest graniastosłup prosty \(ABCDEFGH\) o podstawie prostokątnej \(ABCD\). Przekątne \(AH\) i \(AF\) ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze \(\alpha \) takiej, że \(\sin \alpha =\frac{12}{13}\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(AFH\) jest równe \(26{,}4\). Oblicz wysokość \(h\) tego graniastosłupa.
\(V=\sqrt{22}\)
Punkt \(A = (−3, 2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Pole tego trójkąta jest równe \(15\). Bok \(BC\) zawarty jest w prostej o równaniu \(y = x − 1\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.
Są cztery możliwości:
\(C=(4,3), B=(9,8)\)
lub
\(C=(4,3), B=(-1,-2)\)
lub
\(C=(-4,-5), B=(1,0)\)
lub
\(C=(-4,-5), B=(-9,-10)\)
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym \(18\).
Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem \(P(b)=\frac{(18-2b)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}\)
Wyznacz dziedzinę funkcji \(P\).
Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.
\(D=\left(\frac{9}{2},9\right)\)
Długości boków: \(6,6,6\).