Matura 2022 sierpień
Liczba \(\frac{8^{-40}}{2^{10}}\) jest równa
A.\( 4^{-4} \)
B.\( 4^{-50} \)
C.\( 2^{-47} \)
D.\( 2^{-130} \)
Liczba \(\log_232-\log_28\) jest równa
A.\( 2 \)
B.\( 14 \)
C.\( 16 \)
D.\( 24 \)
Liczba \((5-2\sqrt{3})^2\) jest równa
A.\( 25+4\sqrt{3} \)
B.\( 25-4\sqrt{3} \)
C.\( 37+20\sqrt{3} \)
D.\( 37-20\sqrt{3} \)
Cenę \(x\) (w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o \(30\%\), a następnie obniżono o \(20\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach cena towaru jest równa
A.\( 0{,}36\cdot x \) złotych.
B.\( 0{,}44\cdot x \) złotych.
C.\( 0{,}50\cdot x \) złotych.
D.\( 0{,}56\cdot x \) złotych.
Jednym z rozwiązań równania \(5(x+1)-x^2(x+1)=0\) jest liczba
A.\( 1 \)
B.\( (-1) \)
C.\( 5 \)
D.\( (-5) \)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{8x-3}{4}\gt6x\) jest przedział
A.\( \left(-\infty ,-\frac{3}{4}\right) \)
B.\( \left(-\frac{3}{4}, +\infty\right) \)
C.\( \left(-\infty ,-\frac{3}{16}\right) \)
D.\( \left(-\frac{3}{16}, +\infty\right) \)
Suma wszystkich rozwiązań równania \((2x − 1)(2x − 2)(x + 2) = 0\) jest równa
A.\( \left(-\frac{7}{2}\right) \)
B.\( \left(-\frac{1}{2}\right) \)
C.\( \frac{1}{2} \)
D.\( 1 \)
Punkt \(A = (1, 2\)) należy do wykresu funkcji \(f\), określonej wzorem \(f(x) = (m^2 - 3)x^3 - m^2 + m + 1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy
A.\( m=-4 \)
B.\( m=-2 \)
C.\( m=0 \)
D.\( m=4 \)
Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m-5)x+22\) jest rosnąca dla
A.\( m\gt\frac{2}{5} \)
B.\( m\gt2{,}5 \)
C.\( m\gt0 \)
D.\( m\gt2 \)
Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x) = x^2 + bx + c\) osiąga dla \(x = 2\) wartość najmniejszą równą \(4\). Wtedy
A.\( b=-4,\ c=8 \)
B.\( b=4,\ c=-8 \)
C.\( b=-4,\ c=-8 \)
D.\( b=4,\ c=8 \)
Dana jest funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x) = -2(x - 2)(x + 1)\). Funkcja \(f\) jest rosnąca w zbiorze
A.\( \left(-\infty, \frac{1}{2}\right\rangle \)
B.\( (-1,2) \)
C.\( \left(0, \frac{5}{2}\right) \)
D.\( \left\langle \frac{5}{2}, +\infty \right\rangle \)
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej na zbiorze \(\langle -2, 5)\). 
Funkcja \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x) = f(x-1)\). Wykres funkcji \(g\) można otrzymać poprzez odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji \(f\). Dziedziną funkcji \(g\) jest zbiór
Funkcja \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x) = f(x-1)\). Wykres funkcji \(g\) można otrzymać poprzez odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji \(f\). Dziedziną funkcji \(g\) jest zbiór A.\( \langle 0,2) \)
B.\( \langle -1,6) \)
C.\( \langle -3,4) \)
D.\( \langle 1,3) \)
Dane są ciągi \(a_n = 3n\) oraz \(b_n = 4n - 2\), określone dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Liczba \(10\)
A. jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i jest wyrazem ciągu \((b_n)\).
B.jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i nie jest wyrazem ciągu \((b_n)\).
C.nie jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i jest wyrazem ciągu \((b_n)\).
D.nie jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i nie jest wyrazem ciągu \((b_n)\).
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu \((a_n)\) są równe \(2\). Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
A.\( 1 \)
B.\( 11 \)
C.\( 21 \)
D.\( 31 \)
W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem \(1200\) guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością.
A.\( 800 \)
B.\( 900 \)
C.\( 1000 \)
D.\( 1500 \)
Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a przeciwprostokątna \(AB\) ma długość \(3\sqrt{5}\). Wtedy tangens kąta ostrego \(CAB\) tego trójkąta jest równy
A.\( \frac{\sqrt{5}}{5} \)
B.\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)
C.\( \frac{1}{2} \)
D.\( 2 \)
Nie istnieje kąt ostry \(\alpha \) taki, że
A.\( \sin \alpha =\frac{1}{3} \) i \(\cos \alpha =\frac{2}{3}\)
B.\( \sin \alpha =\frac{5}{13} \) i \(\cos \alpha =\frac{12}{13} \)
C.\( \sin \alpha =\frac{3}{5} \) i \(\cos \alpha =\frac{4}{5} \)
D.\( \sin \alpha =\frac{9}{15} \) i \(\cos \alpha =\frac{12}{15} \)
Wierzchołki \(A\), \(B\), \(C\) czworokąta \(ABSC\) leżą na okręgu o środku \(S\). Kąt \(ABS\) ma miarę \(40^\circ\) (zobacz rysunek), a przekątna \(BC\) jest dwusieczną tego kąta. 
Miara kąta \(ASC\) jest równa
Miara kąta \(ASC\) jest równa A.\( 30^\circ \)
B.\( 40^\circ \)
C.\( 50^\circ \)
D.\( 60^\circ \)
Punkty \(A\) oraz \(B\) leżą na okręgu o środku \(S\). Kąt środkowy \(ASB\) ma miarę \(100^\circ\). Prosta \(l\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\) i tworzy z cięciwą \(AB\) okręgu kąt o mierze \(\alpha\) (zobacz rysunek). 
Wtedy
Wtedy A.\( \alpha =40^\circ \)
B.\( \alpha =45^\circ \)
C.\( \alpha =50^\circ \)
D.\( \alpha =60^\circ \)
Pole prostokąta jest równe \(16\), a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym \(\alpha\), takim, że \(\sin \alpha = 0{,}2\). Długość przekątnej tego prostokąta jest równa
A.\( 4\sqrt{5} \)
B.\( 4\sqrt{10} \)
C.\( 80 \)
D.\( 160 \)
Proste o równaniach \(y=\frac{2}{3}x-3\) oraz \(y=(2m-1)x+1\) są prostopadłe, gdy
A.\( m=-\frac{5}{4} \)
B.\( m=-\frac{1}{4} \)
C.\( m=\frac{5}{6} \)
D.\( m=\frac{5}{4} \)
Punkty \(A = (1, -3)\) oraz \(C = (-2, 4)\) są końcami przekątnej \(AC\) rombu \(ABCD\). Środek przekątnej \(BD\) tego rombu ma współrzędne
A.\( \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \)
B.\( \left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right) \)
C.\( \left(-1,2\right) \)
D.\( \left(-1,1\right) \)
Punkty \(A = (-6, 5)\), \(B = (5, 7)\), \(C = (10, -3)\) są wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Długość przekątnej \(BD\) tego równoległoboku jest równa
A.\( 3\sqrt{5} \)
B.\( 4\sqrt{5} \)
C.\( 6\sqrt{5} \)
D.\( 8\sqrt{5} \)
Obrazem prostej o równaniu \(y = 2x + 5\) w symetrii osiowej względem osi \(Ox\) jest prosta o równaniu
A.\( y=2x-5 \)
B.\( y=-2x-5 \)
C.\( y=-2x+5 \)
D.\( y=2x+5 \)
W graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich ścian jest równy \(7 ∶ 3\). Podstawą tego graniastosłupa jest
A.trójkąt.
B.pięciokąt.
C.siedmiokąt.
D.ośmiokąt.
Średnia arytmetyczna zestawu liczb \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) jest równa \(20\). Wtedy średnia arytmetyczna zestawu liczb \(a - 10\), \(b + 30\), \(c\), \(d\) jest równa
A.\( 10 \)
B.\( 20 \)
C.\( 25 \)
D.\( 30 \)
Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od \(300\) o wszystkich cyfrach parzystych jest
A.\( 6\cdot 10\cdot 10 \)
B.\( 3\cdot 10\cdot 10 \)
C.\( 6\cdot 5\cdot 5\)
D.\( 3\cdot 5\cdot 5\)
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez \(3\). Wtedy
A.\( p=\frac{1}{18} \)
B.\( p=\frac{1}{6} \)
C.\( p=\frac{1}{3} \)
D.\( p=\frac{2}{3} \)
Rozwiąż nierówność \(3x^2-8x\ge3\)
Trójwyrazowy ciąg \((x, y - 4, y)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(6\). Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) różnej od \(0\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) różnej od \(0\) spełniona jest nierówność \[2a^2-4ab+5b^2\gt0\]
Rozwiąż równanie \[\frac{4}{x+2}=x-1\]
Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\) o boku długości \(24\). Punkt \(E\) leży na boku \(AB\), a punkt \(F\) - na boku \(BC\) tego trójkąta. Odcinek \(EF\) jest równoległy do boku \(AC\) i przechodzi przez środek \(S\) wysokości \(CD\) trójkąta \(ABC\) (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka \(EF\). 
Ze zbioru pięciu liczb \(\{-5, -4, 1, 2, 3\}\) losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).
Dany jest graniastosłup prosty \(ABCDEFGH\), którego podstawą jest prostokąt \(ABCD\). W tym graniastosłupie \(|BD| = 15\), a ponadto \(|CD| = 3 + |BC|\) oraz \(|\sphericalangle CDG| = 60^\circ\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa. 