KURS - matura rozszerzona 2025

Drukuj

Poziom rozszerzony

Kurs do matury rozszerzonej z matematyki dla uczniów zdających maturę w formule 2023, według nowej podstawy programowej, obowiązującej od roku 2025.

Informacje o kursie:

Zgodny z formułą 2023 oraz zaktualizowanymi wymaganiami do matury od 2025 roku.
Zawiera wybrane lekcje z kursów z ubiegłych lat, które są w 100% zgodne z wymaganiami do matury od 2025 roku.
Zawiera nowe lekcje opracowane na podstawie zaktualizowanych wymagań CKE obowiązujących od matury 2025.

Kurs jest w trakcie przygotowania. Lekcje wyszarzone są jeszcze niedostępne. Pełny kurs powinien pojawić się na początku września, po opublikowaniu szczegółowej podstawy programowej przez CKE. Do tego czasu kurs może podlegać modyfikacjom.

Kurs rozszerzony dla osób zdających maturę w formule 2015 jest tutaj: kurs - formuła 2015.

Szybka nawigacja do działów kursu:

Liczby rzeczywiste

Wyrażenia algebraiczne i równania i nierówności

III

Funkcje

Ciągi

Trygonometria

Planimetria

VII

Geometria analityczna

VIII

Stereometria

Kombinatoryka, rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Blok I - Liczby rzeczywiste

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Wzór na zamianę podstawy logarytmu.
Inne wzory związane z logarytmami.
Zadania dowodowe z logarytmów.

Czas nagrania: 48 min.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
Stosowanie potęg i pierwiastków w zadaniach dowodowych.
Wzory skróconego mnożenia w zadaniach dowodowych.

Czas nagrania: 38 min.

Blok II - Wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności

Materiał z prostymi zagadnieniami z wielomianów, wykraczający od 2025 roku ponad poziom podstawowy.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Wyłączanie poza nawias jednomianu z sumy algebraicznej;
Rozkładanie wielomianu na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów;
Rozwiązywanie równań wielomianowych postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
Interpretowanie miejsca zerowego wielomianu.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych.
Dzielenie pisemne wielomianu przez dwumian \((x-a)\).
Równanie wielomianowe dwukwadratowe.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian postaci \(x−a\).

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

uczeń stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona):
\(\binom{n}{0}=1,\ \binom{n}{1}=n\), \(\binom{n}{n-1}=n\),
\(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\),
\(\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1} \)
uczeń korzysta ze wzorów na: \(a^3+b^3,\ a^3-b^3,\ a^n-b^n,\ (a+b)^n\) i \((a-b)^n\)

Materiał uzupełniający:

Równania wielomianowe dające się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: \(W(x)\gt 0\), \(W(x)\ge 0\), \(W(x)\lt 0\), \(W(x)\le 0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania.

Materiał z prostymi zagadnieniami z wyrażeń wymiernych, wykraczający od 2025 roku ponad poziom podstawowy.
Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych;
Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych, w przypadkach nie trudniejszych niż: \(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\), \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\), \(\frac{x+1}{x+2}+\frac{x-1}{x+1}\).
Równania wymierne postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdzie wielomiany \(V(x)\) i \(W(x)\) są zapisane w postaci iloczynowej.

Materiał uzupełniający:

Uczeń wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną, w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się łatwo sprowadzić do iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż
\(\frac{x+1}{x(x-1)}+\frac{1}{x+1}\ge\frac{2x}{(x-1)(x+1)}\)

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Stosuje wzory Viete'a dla równań kwadratowych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o stopniu trudności nie większym niż: \(2|x+3|+3|x-1|=13\), \(|x+2|+2|x-3|\lt11\)

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe, postaci \(\begin{cases} ax+by=e \\ x^2+y^2+cx+dy=f \end{cases} \) lub \(\begin{cases} ax+by=e \\ y=cx^2+dx+f \end{cases} \)
rozwiązuje układy równań kwadratowych postaci \(\begin{cases} x^2+y^2+ax+by=c \\ x^2+y^2+dx+ey=f \end{cases} \)

Czas nagrania: 38 min.

Blok III - Funkcje

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Uczeń na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) szkicuje wykresy funkcji \(y=f(x-a)\), \(y=f(x)+b\), \(y=-f(x)\), \(y=f(-x)\).

Materiał uzupełniający:

Przekształcanie wykresu funkcji homograficznej.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Uczeń posługuje się złożeniami funkcji.

Materiał uzupełniający:

Rysowanie i przekształcanie wykresów funkcji wykładniczych i logarytmicznych.
Dziedzina funkcji logarytmicznej.
Badanie liczby rozwiązań równań z parametrem.

Czas nagrania: 46 min.

Materiał uzupełniający:

Uczeń szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami; odczytuje własności takiej funkcji z wykresu.

Blok IV - Ciągi

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Różne zadania z ciągów, a w szczególności takie, w których występuje jednocześnie ciąg arytmetyczny i geometryczny.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu \(\frac{1}{n}\), \(\sqrt[n]{a}\) oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

Blok V - Trygonometria

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Uczeń wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach.
Posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens
Stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Uczeń wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych.
Wykresy funkcji trygonometrycznych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych;

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Uczeń rozwiązuje równania trygonometryczne.
Uczeń korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Uczeń stosuje twierdzenie sinusów i cosinusów.
Uczeń oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (m.in. z wykorzystaniem twierdzenia sinusów).

Blok VI - Planimetria

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

twierdzenie Talesa i odwrotne do twierdzenia Talesa

Materiał uzupełniający:

W wymaganiach do matury rozszerzonej w 2023 i 2024 roku nie ma jednokładności i obowiązuje jedynie umiejętność stosowania podobieństwa figur.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Dowody matematyczne w planimetrii.
Powtórka różnych tematów z geometrii płaskiej.

Blok VII - Geometria analityczna

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Pojęcie wektora i obliczanie jego współrzędne oraz długość.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Równanie prostej w postaci ogólnej na płaszczyźnie, w tym wyznaczanie równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu.
Powtórka wybranych zagadnień z poziomu podstawowego

Materiał uzupełniający:

Stosowanie wektorów do opisu przesunięcia wykresu funkcji.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Punkty wspólne prostej i okręgu
Różne zadania z okręgów

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Punkty wspólne prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej.

Blok VIII - Stereometria

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Posługuje się pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami.
Rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną.
Wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Uczeń oblicza objętości i pola powierzchni walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii.
Uczeń wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

Blok IX - Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów.
Stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

oblicza prawdopodobieństwo warunkowe

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Uczeń stosuje wzór Bayesa.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Stosuje schemat Bernoulliego.

Blok X - Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Oblicza granice funkcji (w tym jednostronne).

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Uczeń stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.

Materiał w trakcie przygotowania

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu;

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Obliczanie pochodnej funkcji złożonej.

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Definicja pochodnej funkcji, interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej.
Styczna do wykresu funkcji

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji.
Dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie: wykaż, że funkcja \(f(x)=\frac{x-1}{x+2}\) jest monotoniczna w przedziale \((-\infty ,-2)\).
Uczeń znajduje ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych.

Materiał w trakcie przygotowania

Zagadnienia CKE omawiane w lekcji:

Rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.