Kryterium d'Alemberta

Kryterium d'Alemberta często stosujemy przy badaniu zbieżności szeregów.

Niech będzie dany szereg: \[\sum_{n=1}^{\infty }a_n \] Rozważmy ciąg o wyrazach \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\).

Wówczas:

jeżeli \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \lt 1\), to szereg jest zbieżny.
jeżeli \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \gt 1\), to szereg jest rozbieżny.
jeżeli \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1\), to kryterium nie rozstrzyga zbieżności szeregu.

Dodatkowo mamy rozszerzenie kryterium d'Alemberta:

jeżeli od pewnego momentu \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1\), to szereg jest rozbieżny.

Zbadaj zbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n\cdot n!}{n^n} \)

Zbadaj zbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^n}{n!} \)

Zbadaj zbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!} \)

Zbadaj zbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n} \)

Zbadaj zbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{2^{n^2}} \)