Poziom podstawowy
Wzór ogólny 1
Wzór ogólny ciągu geometrycznego \((a_n)\) ma postać: \[a_n=a_1\cdot q^{n-1}\] gdzie:
\(a_1\) - to pierwszy wyraz ciągu,
\(q\) - iloraz ciągu Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego, jeżeli wiadomo, że \(a_1=3\) oraz \(q=2\). Oblicz siódmy wyraz tego ciągu.
Stosujemy wzór na n-ty wyraz: \[a_n=3\cdot 2^{n-1}\] Korzystając z powyższego wzoru możemy teraz obliczyć np. siódmy wyraz ciągu: \[a_7=3\cdot 2^{7-1}=3\cdot 2^6=3\cdot 64=192\]
Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego, jeżeli wiadomo, że \(a_1=\sqrt{2}\) oraz \(q=\frac{1}{5}\). Oblicz czwarty wyraz tego ciągu.
Stosujemy wzór na n-ty wyraz: \[a_n=\sqrt{2}\cdot \left (\frac{1}{5} \right )^{n-1}\] Korzystając z powyższego wzoru możemy teraz obliczyć np. siódmy wyraz ciągu: \[a_4=\sqrt{2}\cdot \left (\frac{1}{5} \right )^{4-1}=\sqrt{2}\cdot \left (\frac{1}{5} \right )^3=\frac{\sqrt{2}}{125}\]
Wzór ogólny 2
W sytuacji gdy musimy obliczyć \(n\)-ty wyraz ciągu, a znamy \(k\)-ty wyraz i iloraz \(q\), to możemy skorzystać ze wzoru: \[a_n=a_k\cdot q^{n-k}\] Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego, jeżeli wiadomo, że \(a_{12}=3\) oraz \(q=5\).
Stosujemy wzór na n-ty wyraz: \[a_n=a_{12}\cdot q^{n-12}=3\cdot 5^{n-12}\]
Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego, jeżeli wiadomo, że \(a_3=4\) oraz \(a_5=36\).
Ze wzoru na n-ty wyraz mamy: \[a_5=a_3\cdot q^2\] Zatem: \[q^2=\frac{a_5}{a_3}=\frac{36}{4}=9\] Czyli: \[q=-3\quad \lor \quad q=3\] Teraz musimy rozważyć dwa przypadki:
Dla \(q=-3\) mamy: \[a_1=\frac{a_3}{q^2}=\frac{4}{9}\] Czyli: \[a_n=\frac{4}{9}\cdot (-3)^{n-1}\]
Dla \(q=3\) mamy: \[a_1=\frac{a_3}{q^2}=\frac{4}{9}\] Czyli: \[a_n=\frac{4}{9}\cdot 3^{n-1}\]
Odpowiedź: Istnieją dwa ciągi geometryczne spełniające podane warunki. Jeden jest dany wzorem ogólnym: \(a_n=\frac{4}{9}\cdot (-3)^{n-1}\), a drugi: \(a_n=\frac{4}{9}\cdot 3^{n-1}\).
Dany jest ciąg geometryczny \( (a_n) \) , w którym
\( a_1=64 \) i
\( q=-\frac{1}{2} \). Wówczas
A.\(a_5=-4 \)
B.\(a_5=4 \)
C.\(a_5=2 \)
D.\(a_5=-2 \)
B
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są: \(a_1=36\), \(a_2=18\). Wtedy
A.\( a_4=-18 \)
B.\( a_4=0 \)
C.\( a_4=4{,}5 \)
D.\( a_4=144 \)
C
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) mamy \(a_3 = 5\)
i \(a_4 = 15\). Wtedy wyraz \(a_5\) jest równy.
A.\( 10 \)
B.\( 20 \)
C.\( 75 \)
D.\( 45 \)
D
Ciąg geometryczny \( (a_n) \) określony jest wzorem \( a_n=\frac{3^n}{4} \). Iloraz tego ciągu jest równy:
A.\(3 \)
B.\(\frac{3}{4} \)
C.\(\frac{1}{3} \)
D.\(\frac{1}{4} \)
A
Ciąg geometryczny \( (a_n) \) określony jest wzorem \( a_n=-\frac{3^n}{4} \) dla \( n\ge 1 \). Iloraz tego ciągu jest równy
A.\(-3 \)
B.\(-\frac{3}{4} \)
C.\(\frac{3}{4} \)
D.\(3 \)
D
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są: \(a_1 = 3\)
i \(a_4 = 24\). Iloraz tego ciągu jest równy
A.\( 8 \)
B.\( 2 \)
C.\( \frac{1}{8} \)
D.\( -\frac{1}{2} \)
B
Nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=7\cdot 3^{n+1}\), dla \(n\ge 1\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu.
\(q=3\)
Dany jest ciąg geometyczny \( (a_n) \), w którym \( a_1=-\sqrt{2},\ a_2=2,\ a_3=-2\sqrt{2} \) . Dziesiąty wyraz tego ciągu, czyli \( a_{10} \), jest równy
A.\( 32 \)
B.\( -32 \)
C.\( 16\sqrt{2} \)
D.\( -16\sqrt{2} \)
A
Wyznacz liczbę \(n\) wyrazów ciągu geometrycznego, wiedząc, że:
a)
\(a_1=9,\ \ q=2,\ \ a_n=1152;\)
b)
\(a_1=25,\ \ q=-3,\ \ a_n=2025;\)
c)
\(a_1=54,\ \ q=\frac{1}{3},\ \ a_n=\frac{2}{243};\)
d)
\(a_1=-1,\ \ q=-\frac{2}{7},\ \ a_n=\frac{8}{343};\)
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są
\(a_2=\frac{\sqrt{3}}{2}\) i
\(a_3=-\frac{3}{2}\). Wtedy wyraz \(a_1\) jest równy
A.\( -\frac{1}{2} \)
B.\( \frac{1}{2} \)
C.\( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
D.\( \frac{\sqrt{3}}{3} \)
A
Ciąg \(\left ( {a}_{n} \right )\) określony jest wzorem
\({a}_{n}=-2+\frac{12}{n}\) dla \(n \ge 1 \). Równość
\( {a}_{n}=4 \) zachodzi dla
A.\( n=2 \)
B.\( n=3 \)
C.\( n=4 \)
D.\( n=5 \)
A
Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego \((a_n)\), wiedząc, że:
a)
\(a_5-a_3=1680\)
i \(a_3+a_4=560;\)
b)
\(a_6-a_4=432\)
i \(a_5-a_4=108;\)
c)
\(a_7-a_3=120\)
i \(a_7-a_5=96;\)
d)
\(a_1+a_5=1285\)
i \(a_2\cdot a_4=6400;\)
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) pierwszy wyraz jest równy \(\frac{9}{8}\), a czwarty wyraz jest równy \(\frac{1}{3}\). Wówczas iloraz \(q\) tego ciągu jest równy
A.\( q=\frac{1}{3} \)
B.\( q=\frac{1}{2} \)
C.\( q=\frac{2}{3} \)
D.\( q=\frac{3}{2} \)
C
W dziewięciowyrazowym ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich pierwszy wyraz jest równy \(3\), a ostatni wyraz jest równy \(12\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy
A.\( 3\sqrt[4]{2} \)
B.\( 6 \)
C.\( 7\frac{1}{2} \)
D.\( 8\frac{1}{7} \)
B
W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), spełniony jest warunek \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy
A.\( q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \)
B.\( q=\frac{1}{3} \)
C.\( q=3 \)
D.\( q=\sqrt[3]{3} \)
D
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), w którym pierwszy wyraz jest równy \(6\), a czwarty \(12\sqrt{2}\). Liczba \(\sqrt[3]{a_3-4}\) jest równa
A.\( \sqrt[3]{2} \)
B.\( \sqrt{2} \)
C.\( 2 \)
D.\( 2\sqrt{2} \)
C