Poziom podstawowy
Definicja
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) - to taki ciąg liczbowy, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o ustaloną wartość \(r\), czyli dla dowolnego \(n\in \mathbb{N}_+\) zachodzi: \[a_{n+1}=a_n+r\] Liczbę \(r\) nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego. Przykłady ciągów arytmetycznych:
\(3,7,11,15,...\) - ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=4\), czyli każdy kolejny wyraz jest o \(4\) większy od poprzedniego.
\(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{5}{2},...\) - ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=-1\), czyli każdy kolejny wyraz jest o \(1\) mniejszy od poprzedniego.
\(7,7,7,7,...\) - ciąg stały o różnicy \(r=0\).
Najważniejsze wzory
Dla ciągu arytmetycznego \((a_n)\) zachodzą następujące wzory:
Wzór na
\(n\)-ty wyraz: \[a_n=a_1 + (n-1)\cdot r\] lub \[a_n=a_k + (n-k)\cdot r\] Jeśli liczby \(a,b,c\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, to zachodzi wzór: \[b=\frac{a+c}{2}\] Wzór na
sumę \(n\) pierwszych wyrazów ciągu: \[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\] Wzór na \(n\)-ty wyraz, wykorzystujący sumę: \[a_n=S_n-S_{n-1}\]
Dla ciągu arytmetycznego \(a_n=3n\) wypisz kilka początkowych wyrazów i oblicz różnicę ciągu arytmetycznego oraz wyraz \(a_{100}\).
Wypisujemy początkowe wyrazy: \[3, 6, 9, 12,...\] Różnica ciągu arytmetycznego to: \[r=a_2-a_1=6-3=3\] Teraz obliczamy wyraz setny: \[a_{100}=2\cdot 100=200\]
Podaj różnicę ciągu arytmetycznego \(\frac{3}{4}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{4},...\) i wypisz dwa jego kolejne wyrazy. Określ monotoniczność tego ciągu.
Obliczamy różnicę ciągu arytmetycznego: \[r=a_2-a_1=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}\] Teraz możemy obliczyć dwa kolejne wyrazy: \[a_4=a_3+r=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{4}\] \[a_5=a_4+r=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{5}{4}\] Różnica ciągu arytmetycznego jest ujemna, więc ciąg jest malejący.
Oblicz trzynasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), jeśli \(a_1=5\) oraz \(r=3\).
\[ \begin{split} & a_1=5 \\ & a_2=5+3=11 \\ & a_3=5+2 \cdot 3=11 \\ & a_4=5+3 \cdot 3=14 \\ & \quad \vdots \\ & a_{13}=6+12 \cdot 3=42 \end{split} \] Aby otrzymać wyraz \(a_{13}\) ciągu arytmetycznego, skorzystaliśmy ze zależności: \(a_{13} = a_1+(13-1)r\). Jest to wzór ogólny ciągu arytmetycznego.
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego \((a_n)\) ma postać: \[a_n=a_1+(n-1)\cdot r\] gdzie:
\(a_1\) - to pierwszy wyraz ciągu,
\(r\) - różnica ciągu
Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego \(5,7,9,11,...\). Oblicz \(50\)-ty wyraz tego ciągu.
Jest to ciąg o pierwszym wyrazie \(a_1=5\) i różnicy: \[r=a_2-a_1=7-5=2\] Zatem wzór ogólny ma postać:
\[a_n=a_1+(n-1)\cdot r=5+(n-1)\cdot 2=5+2n-2=2n+3\]
\[\begin{split} a_n&=a_1+(n-1)\cdot r=\\[6pt] &=5+(n-1)\cdot 2=\\[6pt] &=5+2n-2=\\[6pt] &=2n+3 \end{split}\]
Teraz możemy obliczyć \(50\)-ty wyraz tego ciągu: \[a_{50}=2\cdot 50+3=103\]
Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego \(15,1,-13,...\). Oblicz \(15\)-ty wyraz tego ciągu.
Jest to ciąg o pierwszym wyrazie \(a_1=15\) i różnicy: \[r=a_2-a_1=1-15=-14\] Zatem wzór ogólny ma postać:
\(a_n=a_1+(n-1)\cdot r=15+(n-1)\cdot (-14)=15-14n+14\)\(=-14n+29\)
\[\begin{split}a_n&=a_1+(n-1)\cdot r=\\[6pt] &=15+(n-1)\cdot (-14)=\\[6pt] &=15-14n+14=\\[6pt] &=-14n+29\end{split}\]
Teraz możemy obliczyć \(15\)-ty wyraz tego ciągu: \[a_{15}=-14\cdot 15+29=-181\]
Monotoniczność ciągu arytmetycznego
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) o różnicy \(r\) jest:
- rosnący, gdy \(r\gt 0\),
- malejący, gdy \(r\lt 0\),
- stały, gdy \(r= 0\).
Zbadaj monotoniczność ciągu arytmetycznego \(a_n=-4n+1\).
Obliczamy dwa dowolne, kolejne wyrazy ciągu \((a_n)\), np: \[a_1=-4\cdot 1+1=-3\] \[a_2=-2\cdot 2+1=-7\] Teraz obliczamy różnicę: \[r=a_2-a_1=-7-(-3)=-4\] Różnica wyszła ujemna, zatem ciąg \((a_n)\) jest malejący.
Twierdzenie
Jeżeli trzy kolejne liczy \(a, b, c\) tworzą ciąg arytmetyczny, to środkowa liczba jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych: \[b=\frac{a+c}{2}\] Skoro liczy \(a, b, c\) tworzą ciąg arytmetyczny, to możemy obliczyć różnicę tego ciągu na dwa sposoby: \[r=b-a\quad \text{oraz}\quad r=c-b\] Zatem mamy: \[\begin{split}b-a&=c-b\\[6pt] 2b&=a+c\\[6pt] b&=\frac{a+c}{2}\end{split}\] Co należało udowodnić.
Oblicz \(x\) jeżeli liczby \(3,x,14\) tworzą ciąg arytmetyczny.
Skoro liczby tworzą ciąg arytmetyczny, to środkowa liczba jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych: \[x=\frac{3+14}{2}=\frac{17}{2}\]
Oblicz \(x\) jeżeli liczby \(9,-2x+1,-1\) tworzą ciąg arytmetyczny.
Liczby tworzą ciąg arytmetyczny, więc środkowa z nich jest średnią arytmetyczną liczb sąsiednich: \[\begin{split} -2x+1&=\frac{9+(-1)}{2}\\[6pt] -2x+1&=4\\[6pt] -2x&=3\\[6pt] x&=-\frac{3}{2} \end{split}\]
W tym nagraniu wideo omawiam najważniejsze wiadomości dotyczące ciągu arytmetycznego.
Czas nagrania: 36 min.
Czy podany ciąg jest arytmetyczny?
\(3,6,9,12,15\)
\(-2,2,6,10\)
\(-5,-3,3,5\)
\(17,17,17,17\)
a) tak
b) tak
c) nie
d) tak
Czy ciąg o podanym wyrazie ogólnym jest arytmetyczny? Jeśli tak, to oblicz \(a_1\) i różnicę tego ciągu
\( a_n=-5+n \)
\( a_n=7n+3 \)
\( a_n=2-(1-3n) \)
\( a_n=n^2-1 \)
\( a_n=\frac{3n-1}{2} \)
\( a_n=\frac{1}{2n} \)
tak, \(a_1=-4\), \(r=1\)
tak, \(a_1=10\), \(r=7\)
tak, \(a_1=4\), \(r=3\)
nie
tak, \(a_1=1\), \(r=\frac{3}{2}\)
nie
Podane liczby, to dwa początkowe wyrazy pewnego ciągu arytmetycznego, znajdź różnicę oraz dwa następne wyrazy tego ciągu.
\(14,18\)
\(1,21\)
\(0{,}3,0{,}2\)
a) \(r=4\)
b) \(r=20\)
c) \(r=-0{,}1\)
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). W tym ciągu \(a_2 = 4\) oraz \(a_3 = 9\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Szósty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy
A.\( 24 \)
B.\( 29 \)
C.\( 36 \)
D.\( 69 \)
A
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), \(a_5=-31\) oraz \(a_{10}=-66\). Różnica tego ciągu jest równa
A.\( (-7) \)
B.\( (-19{,}4) \)
C.\( 7 \)
D.\( 19{,}4 \)
A