Ciąg arytmetyczny

Definicja ciągu arytmetycznego i przykłady
Przed rozpoczęciem nauki o ciągu arytmetycznym warto zapoznać się z samym pojęciem ciągu.
W tym nagraniu wideo omawiam najważniejsze wiadomości dotyczące ciągu arytmetycznego.
Czas nagrania: 36 min.

Definicja

Ciąg arytmetyczny - to taki ciąg liczb, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o ustaloną wartość \(r\).
Liczbę \(r\) nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Najważniejsze wzory

Dla ciągu arytmetycznego \((a_n)\) zachodzą następujące wzory:
Wzór na \(n\)-ty wyraz: \[a_n=a_1 + (n-1)\cdot r\] lub \[a_n=a_k + (n-k)\cdot r\] Wzór na sumę \(n\) pierwszych wyrazów ciągu: \[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\] Wzór na \(n\)-ty wyraz, wykorzystujący sumę: \[a_n=S_n-S_{n-1}\] Jeśli liczby \(x,y,z\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, to zachodzi wzór: \[y=\frac{x + z}{2}\]
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\): \[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...\] Różnica ciągu jest równa \(1\), czyli \(r=1\).
Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(1\), czyli \(a_1=1\).
Drugi wyraz ciągu jest równy \(2\), czyli \(a_2=2\).
Trzeci wyraz ciągu jest równy \(3\), czyli \(a_3=3\).
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\): \[-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...\] Różnica ciągu jest równa \(1\), czyli \(r=1\).
Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(-3\), czyli \(a_1=-3\).
Drugi wyraz ciągu jest równy \(-2\), czyli \(a_2=-2\).
Trzeci wyraz ciągu jest równy \(-1\), czyli \(a_3=-1\).
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\): \[6, 8, 10, 12, 14, 16,...\] Różnica ciągu jest równa \(2\), czyli \(r=2\).
Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(6\), czyli \(a_1=6\).
Drugi wyraz ciągu jest równy \(8\), czyli \(a_2=8\).
Trzeci wyraz ciągu jest równy \(10\), czyli \(a_3=10\).
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\): \[11, 8, 5, 2, -1,...\] Różnica ciągu jest równa \(-3\), czyli \(r=-3\).
Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(11\), czyli \(a_1=11\).
Drugi wyraz ciągu jest równy \(8\), czyli \(a_2=8\).
Trzeci wyraz ciągu jest równy \(5\), czyli \(a_3=5\).
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\): \[5, 5\tfrac{1}{2},\ 6,\ 6\tfrac{1}{2},\ 7,...\] Różnica ciągu jest równa \(\frac{1}{2}\), czyli \(r=\frac{1}{2}\).
Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(5\), czyli \(a_1=5\).
Drugi wyraz ciągu jest równy \(5\tfrac{1}{2}\), czyli \(a_2=5\tfrac{1}{2}\).
Trzeci wyraz ciągu jest równy \(6\), czyli \(a_3=6\).
Przykłady ciągów niearytmetycznych: \[1,2,4,8,16,...\] \[\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ 2,\ \sqrt{5},...\] \[1,2,1,2,1,2...\]
Czy podany ciąg jest arytmetyczny?
a) \(3,6,9,12,15\)
b) \(-2,2,6,10\)
c) \(-5,-3,3,5\)
d) \(17,17,17,17\)

a) tak
b) tak
c) nie
d) tak
Czy ciąg o podanym wyrazie ogólnym jest arytmetyczny? Jeśli tak, to oblicz \(a_1\) i różnicę tego ciągu
\( a_n=-5+n \)
\( a_n=7n+3 \)
\( a_n=2-(1-3n) \)
\( a_n=n^2-1 \)
\( a_n=\frac{3n-1}{2} \)
\( a_n=\frac{1}{2n} \)
tak, \(a_1=-4\), \(r=1\)
tak, \(a_1=10\), \(r=7\)
tak, \(a_1=4\), \(r=3\)
nie
tak, \(a_1=1\), \(r=\frac{3}{2}\)
nie
Podane liczby, to dwa początkowe wyrazy pewnego ciągu arytmetycznego, znajdź różnicę oraz dwa następne wyrazy tego ciągu.
\(14,18\)
\(1,21\)
\(0{,}3,0{,}2\)

a) \(r=4\)
b) \(r=20\)
c) \(r=-0{,}1\)
Tematy nadrzędne i sąsiednie