Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Wzór 1

Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego (\(a_n\)): \[a_n=a_1+(n-1)\cdot r\] gdzie:
\(a_1\) - to pierwszy wyraz ciągu,
\(r\) - różnica ciągu

Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego o którym wiesz, że \(a_1 = 7\) oraz \(r = 2\).

Stosujemy wzór na \(n\)-ty wyraz: \[a_n=a_1+(n-1)\cdot r\] podstawiając w miejsce \(a_1\) oraz \(r\) znane wartości: \[\begin{split} a_n &= 7 + (n - 1)\cdot 2\\[6pt] a_n &= 7 + 2n - 2\\[6pt] a_n &= 2n + 5 \end{split}\]

Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego o którym wiesz, że \(a_1 = 13\) oraz \(r = -3\).

Stosujemy wzór na \(n\)-ty wyraz: \[a_n=a_1+(n-1)\cdot r\] podstawiając w miejsce \(a_1\) oraz \(r\) znane wartości: \[\begin{split} a_n &= 13 + (n - 1)\cdot (-3)\\[6pt] a_n &= 13-3n+3\\[6pt] a_n &= -3n + 16 \end{split}\]

Wyznacz \(60\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego o którym wiesz, że \(a_1 = 4\) oraz \(r = 1\).

Stosujemy wzór na \(n\)-ty wyraz: \[a_n=a_1+(n-1)\cdot r\] podstawiając pod \(n\) liczbę \(60\), a w miejsce \(a_1\) oraz \(r\) znane wartości: \[ a_{60} = 4 + (60 - 1)\cdot 1 = 4+59=63 \]

W sytuacji gdy musimy obliczyć \(n\)-ty wyraz ciągu, a znamy \(k\)-ty wyraz i różnicę \(r\), to możemy skorzystać ze wzoru:

Wzór 2

Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego (\(a_n\)): \[a_n=a_k+(n-k)\cdot r\] gdzie:
\(a_k\) - to \(k\)-ty wyraz ciągu,
\(r\) - różnica ciągu

Wyznacz \(47\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego o którym wiesz, że \(a_{18} = -7\) oraz \(r = 2\).

Stosujemy wzór na \(n\)-ty wyraz: \[a_n=a_k+(n-k)\cdot r\] podstawiając do niego znane wartości: \[ a_{47} = -7 + (47- 18)\cdot 2 = -7+29\cdot 2=-7+58=51 \]

Wzór 3

Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego (\(a_n\)): \[a_n=a_1+(n-1)\cdot r\] gdzie:
\(S_n\) - to suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu,

Zapisz wzór ogólny i oblicz dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\) znając różnicę i pierwszy wyraz tego ciągu.

\(a_1=8, \ r=2\)

\(a_1=3, \ r=-1\)

\(a_1=60, \ r=-\frac{1}{2}\)

\(a_1=-5, \ r=-11\)

\(a_1=\frac{2}{3}, \ r=\frac{1}{6}\)

\(a_1=-2, \ r=\sqrt{2}\)

Znajdź wzór ogólny ciągu arytmetycznego \((a_n)\), którego początkowymi wyrazami są podane liczby. Oblicz dziesiąty wyraz tego ciągu.

\(8,10,12,14\)

\(7,-3,-13,-23\)

\(11,22,33,44\)

\(0,\sqrt{2},2\sqrt{2},3\sqrt{2}\)

\(-2,-2\frac{1}{2},-3,-3\frac{1}{2}\)

\(1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2}\)

Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego \((a_n)\) o którym wiesz, że:

\(a_1=1\) oraz \(a_3=5\)

\(a_1=1\) oraz \(a_8=36\)

\(a_5=-6\) oraz \(a_7=-4\)

\(a_{11}=12\) oraz \(a_{20}=-6\)

Którym wyrazem podanego ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest liczba \(x\)?

\(a_n = 3n-1,\quad x=26\)

\(a_n = 17-6n,\quad x=-1\)

\(a_n = 3(n-1)+n,\quad x=41\)

Którym wyrazem podanego ciągu arytmetycznego jest liczba \(x\)?

\(5,8,11,... \quad x=38\)

\(12,8,4,... \quad x=-40\)

\(7\frac{1}{2},8,8\frac{1}{2},... \quad x=16\)

\(\sqrt{3},3\sqrt{3},5\sqrt{3},... \quad x=33\sqrt{3}\)

Wyznacz liczbę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego, wiedząc, że:

\(a_1=5,\ \ a_n=61,\ \ r=7;\)

\(a_1=-27,\ \ a_n=15,\ \ r=3{,}5;\)

\(a_1=2{,}3,\ \ a_n=48{,}8,\ \ r=3{,}1;\)

\(a_1=2\frac{2}{3},\ \ a_n=33\frac{1}{3},\ \ r=1\frac{1}{3};\)

\(a_1=6{,}3,\ \ a_n=-15{,}4,\ \ r=-0{,}7;\)

\(a_1=-14{,}1,\ \ a_n=-21{,}54,\ \ r=-0{,}08;\)

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = -2n + 1\) dla \(n \ge 1\). Różnica tego ciągu jest równa

A.\( -1 \)

B.\( 1 \)

C.\( -2 \)

D.\( 3 \)

W ciągu arytmetycznym piąty wyraz jest równy \(8\), zaś siódmy wyraz tego ciągu jest równy \(14\). Dziesiąty wyraz tego ciągu jest równy:

A.\( 21 \)

B.\( 23 \)

C.\( 24 \)

D.\( 3 \)

Liczby \( 2,-1,-4 \) są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego \( (a_n) \) określonego dla liczb naturalnych \( n\ge 1 \). Wzór ogólny tego ciągu ma postać

A.\(a_n=-3n+5 \)

B.\(a_n=n-3 \)

C.\(a_n=-n+3 \)

D.\(a_n=3n-5 \)

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) w którym różnica \(r=-2\) oraz \(a_{20 }=17\). Wówczas pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A.\( 45 \)

B.\( 50 \)

C.\( 55 \)

D.\( 60 \)