Całkowanie przez części

Jeżeli funcje \(f\) i \(g\) mają ciągłe pochodne, to: \[\int f(x)\cdot g'(x)\ dx=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)\ dx\] lub \[\int f'(x)\cdot g(x)\ dx=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot g'(x)\ dx\]
Oblicz całkę \(\int xe^xdx\).
Stosujemy całkowanie przez części: \[ \begin{split} \int xe^xdx &=\int x\left ( e^x \right )'dx=\\[6pt] &=xe^x-\int\left ( x \right )'e^xdx=\\[6pt] &=xe^x-\int 1\cdot e^x=\\[6pt] &=xe^x-e^x+C \end{split} \]
Oblicz całkę \(\int x^2e^xdx\).
Stosujemy całkowanie przez części: \[ \begin{split} \int x^2e^xdx&=\int x^2\left ( e^x \right )'dx=\\[6pt] &=x^2e^x- \int 2xe^xdx=\\[6pt] &=x^2e^x-\left ( 2xe^x-\int2e^xdx \right )=\\[6pt] &=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C=\\[6pt] &=e^x\left ( x^2-2x+2 \right )+C \end{split} \]
Oblicz całkę \(\int x^3 \cos x\ dx\).
Stosujemy całkowanie przez części: \[ \begin{split} \int x^3 \cos x\ dx&= \int x^3 \left ( \sin x \right )'\ dx=\\[6pt] &=x^3\sin x-\int3x^2\sin x\ dx=\\[6pt] &=x^3\sin x-\left ( \int3x^2\left ( -\cos x \right )'\ dx \right )=\\[6pt] &=x^3\sin x+\left ( \int3x^2\left ( \cos x \right )'\ dx \right )=\\[6pt] &=x^3\sin x+\left ( 3x^2\cos x-\int6x \cos x\ dx \right )=\\[6pt] &=x^3\sin x+3x^2\cos x-\int6x (\sin x)'\ dx=\\[6pt] &=x^3\sin x+3x^2\cos x-\left ( 6x\sin x - \int6\sin x\ dx \right )=\\[6pt] &=x^3\sin x+3x^2\cos x- 6x\sin x + 6\int\sin x\ dx =\\[6pt] &=x^3\sin x+3x^2\cos x- 6x\sin x - 6\cos x +C \end{split} \]
Oblicz całkę \(\int \frac{x}{\sin^2\!x}dx\).
Stosujemy całkowanie przez części: \[ \begin{split} \int \frac{x}{\sin^2\!x}dx&=\int x\cdot \frac{1}{\sin^2\!x}dx=\\[6pt] &=\int x\cdot \left ( -\operatorname{ctg} x \right )'dx=\\[6pt] &=-x\operatorname{ctg} x-\int1\cdot (-\operatorname{ctg} x)dx=\\[6pt] &=-x\operatorname{ctg} x+\int \operatorname{ctg} x\ dx=\\[6pt] &=-x\operatorname{ctg} x+\ln|\sin x| + C \end{split} \]
Oblicz całkę \(\int \frac{x}{\sin^2\!x}dx\).
Stosujemy całkowanie przez części: \[ \begin{split} \int \sin \left ( \ln x \right )dx&=\int(x)' \sin \left ( \ln x \right )dx=\\[6pt] &=x \sin \left ( \ln x \right )-\int x \left ( \sin \left ( \ln x \right ) \right )'dx=\\[6pt] &=x \sin ( \ln x )-\int x \frac{\cos (\ln x)}{x}dx=\\[6pt] &=x \sin ( \ln x )-\int \cos (\ln x)\ dx=\\[6pt] &=x \sin ( \ln x )-\int (x)'\cos (\ln x)\ dx=\\[6pt] &=x \sin ( \ln x )-\left ( x\cos (\ln x) -\int x \frac{-\sin(\ln x)}{x}dx \right )=\\[6pt] &=x \sin ( \ln x )- x\cos (\ln x) -\int \sin(\ln x)\ dx \end{split} \] Zatem mamy równość: \[ \begin{split} \int \sin \left ( \ln x \right )dx&=x \sin ( \ln x )- x\cos (\ln x) -\int \sin(\ln x)\ dx\\[6pt] \int \sin \left ( \ln x \right )dx+\int \sin(\ln x)\ dx&=x \sin ( \ln x )- x\cos (\ln x)\\[6pt] 2\int \sin \left ( \ln x \right )dx&=x \sin ( \ln x )- x\cos (\ln x)\\[6pt] \int \sin \left ( \ln x \right )dx&=\frac{1}{2}x \sin ( \ln x )- \frac{1}{2}x\cos (\ln x)+C \end{split} \]