Jesteś tu: Działy tematyczneWielomianyRównania wielomianoweMetoda rozwiązywania równań wielomianowych

Metoda rozwiązywania równań wielomianowych

Równania wielomianowe drugiego stopnia (czyli tzw. równania kwadratowe) rozwiązujemy metodami opisanymi na tej stronie.
Metoda rozwiązywania bardziej skomplikowanych równań wielomianowych (stopnia \(3\) i wyższych) jest następująca:
  • przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę równania, tak aby po prawej stronie zostało zero,
  • rozkładamy lewą stronę na iloczyn czynników,
  • przyrównujemy każdy nawias do zera,
  • rozwiązujemy kilka prostych równań, otrzymując w rezultacie rozwiązania początkowego równania wielomianowego.
Cały powyższy algorytm przedstawimy teraz na poniższym przykładzie.
Rozwiąż równanie \(x^3 + 5x^2 = 2x + 10\).
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[x^3 + 5x^2 - 2x - 10 = 0\] Teraz rozkładamy lewą stronę na iloczyn czynników. Standardowo wyciągamy wspólny czynnik przed nawias z pierwszych dwóch wyrazów oraz z ostatnich dwóch wyrazów:
\[\begin{split} x^2(x + 5) - 2(x + 5) &= 0\\[6pt] (x + 5)(x^2 - 2) &= 0\\[6pt] (x + 5)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) &= 0\\[6pt] \end{split}\] Teraz przyrównujemy każdy z nawiasów do zera: \[x + 5 = 0 \quad \lor \quad x - \sqrt{2} = 0 \quad \lor \quad x + \sqrt{2} = 0\] i otrzymujemy ostatecznie rozwiązania: \[x = -5 \quad \lor \quad x = \sqrt{2} \quad \lor \quad x = -\sqrt{2}\]
Niektóre proste równania wielomianowe można rozwiązać w szybszy sposób.
Rozwiąż równanie \(3x^4 = 48\).
W tym równaniu niewiadoma \(x\) występuje tylko w jednym miejscu, zatem liczymy od razu: \[\begin{split} 3x^4 &= 48 \qquad // : 3\\[6pt] x^4 &= 16\\[6pt] x^2 = 4 \quad &\lor \quad x^2 = -4 \end{split}\] Równanie \(x^2=-4\) jest sprzeczne, zatem rozwiązanie to: \[\begin{split} x^2 &= 4\\[6pt] x = 2 \quad &\lor \quad x = -2 \end{split}\]
Więcej przykładów na rozwiązywanie równań wielomianowych znajdziesz w zadaniach z rozwiązaniami wideo w kolejnym dziale.
Sąsiednie tematy
Metoda rozwiązywania równań wielomianowych (tu jesteś)