1. Wprowadzenie do logarytmów

Logarytm wygląda następująco:
logarytm
Powyżej zapisany logarytm przeczytamy: "logarytm liczby b przy podstawie a" lub "logarytm przy podstawie a z liczby b".
Podamy teraz formalną definicję logarytmu.
Definicja Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy taką liczbę c, że a podniesione do potęgi c daje liczbę b.
Matematycznie zapiszemy tą definicję tak:
Definicja logarytmu
Zatem żeby obliczyć log_a(b), wystarczy odpowiedzieć na pytanie:
Do jakiej potęgi podnieść liczbę a, żeby otrzymać liczbę b?
W poniższej tabelce podamy jeszcze raz definicję logarytmu oraz sposób jego interpretacji.
Jak zapisujemy Jak czytamy Jak rozumiemy
log_a(b) logarytm liczby b przy podstawie a Do jakiej potęgi podnieść liczbę a, żeby otrzymać liczbę b
Logarytm istnieje tylko wówczas, gdy spełnione są trzy warunki, które często nazywamy założeniami lub dziedziną logarytmu:
  • podstawa logarytmu musi być zawsze liczbą dodatnią, czyli: a > 0,
  • podstawa jest różna od 1, zatem: a ≠ 1,
  • liczba logarytmowana musi być dodatnia, czyli: b > 0.

Wprowadzenie do logarytmów

Z tego nagrania wideo dowiesz się co to są logarytmy oraz jak je można obliczać.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją
Sposoby liczenia logarytmów zostały również omówione w dziale Obliczanie logarytmów.
W poniższym pliku PDF znajduje się definicja, wzory oraz przykłady liczenia prostych logarytmów:

2. Logarytmy - najważniejsze wzory

Załóżmy, że: a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0. Wówczas zachodzą następujące wzory:
najważniejsze wzory z logarytmów
W poniższym pliku znajduje się zestawienie tych wzorów wraz z przykładami ich użycia.

3. Obliczanie logarytmów

Metodę liczenia logarytmów omawiałem już w dziale Logarytmy - wprowadzenie. Poniżej znajduje się krótki film wideo na którym przedstawiam wspomnianą wyżej metodę.

Metoda liczenia logarytmów

Z tego nagrania wideo dowiesz się jak obliczać logarytmy.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją
Zapiszemy jeszcze tą metodę w sposób pisemny.
Metoda liczenia logarytmów Przypuśćmy, że musimy obliczyć log_a(b). Wynik takiego działania oznaczmy sobie przez x.
Zapiszemy więc, że:
Zgodnie z definicją logarytmu możemy teraz przeformułować to równanie na następujące:
Widać zatem, że musimy po prostu ustalić do jakiej potęgi należy podnieść liczbę a, żeby otrzymać liczbę b (czyli musimy obliczyć x-a). Po wyznaczeniu x-a mamy obliczony nasz logarytm.
Na pierwszy rzut oka powyższa metoda może wydawać się skomplikowana, jednak w rzeczywistości jest bardzo prosta w zastosowaniu. W zamieszczonym wcześniej nagraniu wideo pokazuję jej działanie na prostych przykładach. Więcej przykładów na jej zastosowanie znajdziesz poniżej.
W celu jeszcze lepszego zapamiętania definicji logarytmu możesz spojrzeć na poniższą metodę kółka.
Pozwala ona łatwo zapamiętać, jak przeformułować problem obliczenia logarytmu, na problem znalezienia odpowiedniej potęgi. Zilustrujemy ją na prostym przykładzie:
Zaczynamy od dolnej dwójki, następnie idziemy do x, a na koniec do dużej 8. Otrzymujemy w ten sposób ciąg liczb: 2, x, 8, które następnie zapisujemy w postaci potęgi.

Zadanie 16.

Oblicz .

Zadanie 21.

Liczba jest równa

Zadanie 22.

Iloczyn jest równy

Zadanie 23.

Liczba 2log327 - log216 jest równa

Zadanie 24.

Liczba jest równa

Zadanie 25.

Liczba log24 + 2log31 jest równa

Zadanie 26.

Liczba jest równa
 
 
 

Zadanie 27.

Suma jest równa

Zadanie 28.

Liczba . Wtedy
A.
B.
C.
D.

4. Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Dwa logarytmy o takiej samej podstawie możemy dodać korzystając ze wzoru:
Z bardzo podobnego wzoru skorzystamy, gdy chcemy odjąć logarytmy o wspólnej podstawie:
Przykłady:

Zadanie 1.

Oblicz log63 + log612.

Zadanie 2.

Oblicz log832 + log82.

Zadanie 3.

Oblicz log24 + log28.

Zadanie 4.

Oblicz log25 + log40.

Zadanie 5.

Oblicz log550 - log52.

Zadanie 6.

Oblicz log224 - log23.

Zadanie 7.

Oblicz log336 - log34.

Zadanie 8.

Oblicz log300 - log3.

Zadanie 9.

Liczba log100 - log28 jest równa

Zadanie 10.

Liczba 2 - 2log23 jest równa

Zadanie 11.

Liczba jest równa:

Zadanie 12.

Liczba log327 − log31 jest równa

Zadanie 13.

Suma log42 + log432 jest równa

Zadanie 14.

Liczba log_4 8 + log_4 2 jest równa

Zadanie 15.

Liczba log24 jest równa:

Zadanie 16.

Liczba log(log20+log5) jest równa

Zadanie 17.

Liczba log321 - log37 jest równa

Zadanie 18.

Liczba log510 + log52,5 jest równa

Zadanie 19.

Liczba log2100 - log250 jest równa

Zadanie 20.

Wartość wyrażenia jest równa:
A.
B.
C.
D.

5. Logarytm w wykładniku potęgi

Potęgi z logarytmem w wykładniku możemy obliczać ze wzoru:

6. Równania logarytmiczne

Równania logarytmiczne rozwiązujemy bezpośrednio z definicji logarytmu.
Dokonujemy następującej zamiany: W ten sposób rozwiązujemy proste równania logarytmiczne. Dokładna prezentacja całego sposobu znajduje się w poniższych materiałach wideo.

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie .

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie .

Zadanie 3.

Rozwiąż równanie .

Zadanie 4.

Rozwiąż równanie .

Zadanie 5.

Rozwiąż równanie .

Zadanie 6.

Rozwiąż równanie .

Zadanie 7.

Rozwiąż równanie .

Zadanie 8.

Rozwiąż równanie .

Zadanie 9.

Jeżeli , to liczba x jest równa:

7. Różne zadania z logarytmów

Zadanie 1.

Wiadomo, że log0,5x = −1. Zatem:

Zadanie 2.

Liczba log12 jest równa

Zadanie 3.

Liczba log6 jest równa

Zadanie 4.

Wiadomo, że a = 3log84, zatem a jest równe

Zadanie 5.

Liczba log36 jest równa

Zadanie 6.

Wyrażenie log4(2x - 1) jest określone dla wszystkich liczb x spełniających warunek