Poziom rozszerzony
Do obliczania granic ciągów często wykorzystujemy ich następujące własności.
Twierdzenie
Jeżeli \(\lim_{n \to \infty} a_n=a\) oraz \(\lim_{n \to \infty} b_n=b\), to:
- \(\!\lim_{n \to \infty}(c \cdot a_n)=c \cdot a\), gdzie \(c \in \mathbf{R}\)
- \(\!\lim_{n \to \infty}(a_n\!+b_n)=\!\lim_{n \to \infty} a_n\!+\!\lim_{n \to \infty} b_n\!=a\!+\!b\)
- \(\!\lim_{n \to \infty}(a_n\!-b_n)=\!\lim_{n \to \infty} a_n\!-\!\lim_{n \to \infty} b_n\!=a\!-\!b\)
- \(\!\lim_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n)=\lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n=a \cdot b\)
- \(\!\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n}{\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n}=\frac{a}{b}\), gdzie \(b \neq 0\) i \(b_n \neq 0\) dla \(n \in \mathbf{N}_{+}\)
W zadaniach bardzo często korzystamy z granicy:
Jeżeli \(a\gt0\), to: \[\lim _{n \to \infty} \frac{1}{n^a}=0\]
Oblicz granicę ciągu \(a_n=\frac{3n^2+2n-1}{n^2}\).
W celu obliczenia tej granicy podzielimy licznik przez mianownik.
\[\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+2n-1}{n^2}=\lim_{n \to \infty}(3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2})=3+\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n}-\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}=5+0-0=5\]
\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+2n-1}{n^2}=\lim_{n \to \infty}(3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2})=\\[6pt] &=3+\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n}-\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}=5+0-0=5\end{split}\]
Oblicz granicę ciągu \(a_n=\frac{6n^5+3n^2-n}{2n^5-n^4}\).
W celu obliczenia tej granicy podzielimy licznik i mianownik przez \(n^5\) (najwyższa potęga \(n\) z licznika lub mianownika).
\[\lim_{n \to \infty} \frac{6n^5+3n^2-n}{2n^5-n^4} =\lim_{n \to \infty}\frac{6+\frac{3}{n^3}-\frac{1}{n^4}}{2-\frac{1}{n}} =\frac{6+\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{3}{n^3}-\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^4}}{2-\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}}= =\frac{6+0-0}{2-0}=3\]
\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{6n^5+3n^2-n}{2n^5-n^4}=\lim_{n \to \infty}\frac{6+\frac{3}{n^3}-\frac{1}{n^4}}{2-\frac{1}{n}}=\\[6pt] &=\frac{6+\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{3}{n^3}-\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^4}}{2-\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}}=\frac{6+0-0}{2-0}=3 \end{split}\]
Oblicz granicę ciągu \(a_n=\frac{2n+1}{3n+4}\).
W celu obliczenia tej granicy podzielimy licznik i mianownik przez \(n\):
\[\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{3n+4} =\lim_{n \to \infty}\frac{2+\frac{1}{n}}{3+\frac{4}{n}} =\frac{2+\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}}{3+\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{4}{n}} =\frac{2+0}{3+0}=\frac{2}{3}\]
\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{3n+4}=\lim_{n \to \infty}\frac{2+\frac{1}{n}}{3+\frac{4}{n}}=\\[6pt] &=\frac{2+\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}}{3+\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{4}{n}}=\frac{2+0}{3+0}=\frac{2}{3} \end{split}\]
Kilka przykładów granic podobnych do powyższych.
\(\lim_{n \to \infty} \frac{7n-3}{3-5n}=\frac{7}{-5}=-\frac{7}{5}\)
\(\lim_{n \to \infty} \frac{n^2-1}{3n^2-3}=\frac{1}{3}\)
\(\lim_{n \to \infty} \frac{5n^3-n^2+n}{3n^2-2n^3}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}\)
\(\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{4n^2+1}=\frac{1}{4}\)
Oblicz granicę ciągu \(a_n=\frac{3n^2+2n-1}{n^3}\).
W celu obliczenia tej granicy podzielimy licznik i mianownik przez \(n^3\) (najwyższa potęga \(n\) z licznika lub mianownika).
\[\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+2n-1}{n^3} =\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}-\frac{1}{n^3}}{1} =\frac{0+0-0}{1}=0\]
\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+2n-1}{n^3}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}-\frac{1}{n^3}}{1}=\\[6pt] &=\frac{0+0-0}{1}=0 \end{split}\]
Oblicz granicę ciągu \(a_n=\frac{100n}{(n-1)(n+1)}\).
W tym zadaniu uprościmy mianownik, a nastęnie podzielimy licznik i mianownik przez \(n^2\).
\[\lim_{n \to \infty} \frac{100n}{(n-1)(n+1)}=\lim_{n \to \infty}\frac{100n}{n^2-1}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{100}{n}}{1-\frac{1}{n^2}}=\frac{0}{1-0}=0\]
\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{100n}{(n-1)(n+1)}=\lim_{n \to \infty}\frac{100n}{n^2-1}=\\[6pt] &=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{100}{n}}{1-\frac{1}{n^2}}=\frac{0}{1-0}=0 \end{split}\]
Do obliczania granic ilorazów bardzo przydaje się poniższe twierdzenie.
Twierdzenie
Rozważmy dwa wielomiany: \[w(n)=a\cdot n^p+...\ \ \text{oraz}\ \ v(n)=b\cdot n^q+...\] o stopniach odpowiednio \(p\) oraz \(q\).
Wówczas granica: \[\lim_{n \to \infty} \frac{w(n)}{v(n)}\] jest równa:
- \(\frac{a}{b}\) jeżeli \(p=q\),
- \(0\) jeżeli \(p\lt q\),
- \(\pm\infty \) jeżeli \(p\gt q\).
Pierwsze dwa przypadki powyższego twierdzenia pokazaliśmy we wcześniejszych przykładach, a trzeci przypadek omówimy w kolejnym rozdziale.