Jesteś tu: SzkołaWartość bezwzględnaWartość bezwzględna wyrażeń z x-em

Wartość bezwzględna wyrażeń z x-em

Jeżeli wewnątrz wartości bezwzględnej stoi wyrażenie z \(x\)-em, to przy jej opuszczaniu powinniśmy rozpatrzyć dwa przypadki.
Należy opuścić wartość bezwzględną:
  • bez zmiany znaku dla tych \(x\)-ów, dla których wyrażenie pod wartością bezwzględną jest większe lub równe zero.
  • ze zmianą znaku (z minusem) dla tych \(x\)-ów, dla których wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne.
Opuszczając wartość bezwzględną z wyrażenia \(|x-5|\) otrzymamy dwa przypadki: \[ \begin{split} |x-5| &=\begin{cases} x-5\ &\text{ dla }\ x-5\ge 0 \\ -(x-5)\ &\text{ dla }\ x-5\lt 0 \end{cases}\ =\\[6pt] &=\begin{cases} x-5\ &\text{ dla }\ x\ge 5 \\ -x+5\ &\text{ dla }\ x\lt 5 \end{cases} \end{split} \] Inaczej można zapisać to tak: \[\begin{split} &|x-5|=x-5\ \text{ dla }\ x\ge 5\\[6pt] &|x-5|=-x+5\ \text{ dla }\ x\lt 5 \end{split}\]
Opuszczając wartość bezwzględną z wyrażenia \(|2x+3|\) otrzymamy dwa przypadki: \[ \begin{split} |2x+3| &=\begin{cases} 2x+3\ &\text{ dla }\ 2x+3\ge 0 \\ -(2x+3)\ &\text{ dla }\ 2x+3\lt 0 \end{cases}\ =\\[6pt] &=\begin{cases} 2x+3\ &\text{ dla }\ x\ge -\dfrac{3}{2} \\ -2x-3\ &\text{ dla }\ x\lt -\dfrac{3}{2} \end{cases} \end{split} \] Inaczej można zapisać to tak: \[\begin{split} &|2x+3|=2x+3\ \text{ dla }\ x\ge -\frac{3}{2}\\[6pt] &|2x+3|=-2x-3\ \text{ dla }\ x\lt -\frac{3}{2} \end{split}\]
Opuszczając wartość bezwzględną z wyrażenia \(|x^2-3|\) otrzymamy dwa przypadki: \[ \begin{split} |x^2-3| &=\begin{cases} x^2-3\ &\text{ dla }\ x^2-3\ge 0 \\ -(x^2-3)\ &\text{ dla }\ x^2-3\lt 0 \end{cases}\ =\\[6pt] &=\begin{cases} x^2-3\ &\text{ dla }\ x^2\ge 3 \\ -x^2+3\ &\text{ dla }\ x^2\lt 3 \end{cases}=\\[6pt] &=\begin{cases} x^2-3\ &\text{ dla }\ x\in (-\infty ;-\sqrt{3}\rangle \cup \langle \sqrt{3};+\infty ) \\ -x^2+3\ &\text{ dla }\ x\in (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \end{cases} \end{split} \] Inaczej można zapisać to tak: \[\begin{split} &|x^2-3|=x^2-3\ \text{ dla }\ x\in (-\infty ;-\sqrt{3}\rangle \cup \langle \sqrt{3};+\infty )\\[6pt] &|x^2-3|=-x^2+3\ \text{ dla }\ x\in (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \end{split}\]
Wyrażenie \(\Bigl ||x| + 1\Bigl |\) dla \(x \lt 0\) jest równe
\( x+1 \)
\( x-1 \)
\( -x+1 \)
\( -x-1 \)
C
Wartość wyrażenia \( \vert{3-x}\vert-\vert{x+4}\vert \) dla \( x \in (3,+\infty) \) jest równa
\(7-2x \)
\(-2x-1 \)
\(7 \)
\(-7 \)
D
Dla każdej liczby \( x \), spełniającej warunek \( -3 \lt x \lt 0 \), wyrażenie \( \frac{|x+3|-x+3}{x} \) jest równe
\(2 \)
\(3 \)
\(-\frac{6}{x} \)
\(\frac{6}{x} \)
D