Suma ciągu geometrycznego

Sumę pierwszych \(n\) wyrazów ciągu geometrycznego liczymy ze wzoru: \[S_n=\begin{cases} a_1\cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}\quad \text{dla } q\ne 1\\ a_1\cdot n\quad \text{ dla } q = 1 \end{cases} \]
Oblicz sumę \(9\) pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego o wzorze ogólnym \(a_n = 2^n\).
Obliczamy pierwszy wyraz ciągu: \[a_1 = 2^1 = 2\] oraz iloraz \(q\): \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2^2}{2}=2\] Zatem szukana suma wynosi: \[S_9=a_1\cdot \frac{1-q^9}{1-q}=2\cdot \frac{1-2^9}{1-2}=2\cdot \frac{1-2^9}{-1}=2\cdot (2^9-1)=2^{10}-2=1022\]