Równanie nazywamy:
- oznaczonym - jeżeli ma dokładnie jedno rozwiązanie,
- nieoznaczonym (tożsamościowym) - jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań,
- sprzecznym - jeżeli nie ma rozwiązań.
Rozwiąż równianie: \[3x+1=-3x-2\] i określ czy jest oznaczone, nieoznaczone czy sprzeczne.
Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} 3x+1&=-3x-2\\[6pt] 3x+3x&=-2-1\\[6pt] 6x&=-3\\[6pt] x&=-\frac{1}{2} \end{split}\] Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=-\frac{1}{2}\), zatem jest to równanie oznaczone.
Rozwiąż równianie: \[2\cdot (5x-3)+3=3\cdot (2x-1)+4x\] i określ czy jest oznaczone, nieoznaczone czy sprzeczne.
Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} 2\cdot (5x-3)+3&=3\cdot (2x-1)+4x\\[6pt] 10x-6+3&=6x-3+4x\\[6pt] 10x-3&=10x-3\\[6pt] \end{split}\] Lewa strona równania jest równa prawej, zatem mamy równanie nieoznaczone (tożsamościowe).
Równie tego typu ma nieskończenie wiele rozwiązań, ponieważ dowolna liczba podstawiona pod \(x\) da równanie prawdziwe.
Przykładowo dla \(x=7\) mamy: \[\begin{split} 10\cdot 7-3&=10\cdot 7-3\\[6pt] 70-3&=70-3\\[6pt] 67&=67 \end{split}\] Tak samo np dla \(x=2\) mamy: \[\begin{split} 10\cdot 2-3&=10\cdot 7-3\\[6pt] 20-3&=20-3\\[6pt] 17&=17 \end{split}\] Równanie tożsamościowe zawsze można doprowadzić do postaci \(0=0\). W tym przykładzie również: \[\begin{split} 10x-3&=10x-3\\[6pt] 10x&=10x\\[6pt] 0&=0\\[6pt] \end{split}\]
Rozwiąż równianie: \[7x-2=7x+3\] i określ czy jest oznaczone, nieoznaczone czy sprzeczne.
Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} 7x-2&=7x+3\\[6pt] 7x-7x&=3+2\\[6pt] 0&=5 \end{split}\] Otrzymaliśmy równanie sprzeczne.
Równanie: \[x^2=4\] nie jest ani oznaczone, ani nieoznaczone, ani sprzeczne, ponieważ ma dwa rozwiązania: \[x=-2\quad \lor \quad x=2\]
Równanie: \[x^2=-4\] jest sprzeczne, ponieważ nie istnieje liczba rzeczywista, która podniesiona do drugiej potęgi da liczbę ujemną.