Jesteś tutaj: SzkołaKombinatorykaReguła mnożenia
◀ Wprowadzenie do kombinatoryki

Reguła mnożenia

Reguła mnożenia przydaje się podczas rozwiązywania wielu zadań z kombinatoryki. Omówimy ją na konkretnych przykładach.
Rzucamy trzy razy monetą. Ile jest wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia?
Możliwe wyniki to np.: \((Orzeł,Orzeł,Reszka)\), \((O,R,R)\), \((R,O,R)\), \((R,R,R)\)...
Zatem:
W I rzucie może wypaść orzeł lub reszka, czyli są 2 możliwości.
W II rzucie również może wypaść orzeł lub reszka, czyli są 2 możliwości.
W III rzucie również może wypaść orzeł lub reszka, czyli są 2 możliwości.
Powiemy:
Reguła mnożenia mówi, że w takiej sytuacji mamy: \[2\cdot 2\cdot 2=8\] możliwości.
W regule mnożenia zawsze zamieniamy spójnik "i" na mnożenie.
Rzucamy 10 razy monetą. Ile jest możliwych wyników?
W każdym rzucie możemy otrzymać 2 wyniki: \(Orzeł\) albo \(Reszka\). Powiemy:
W pierwszym rzucie mamy \(2\) możliwości i w drugim rzucie mamy \(2\) możliwości i w trzecim rzucie mamy \(2\) możliwości... i w dziesiątym rzucie mamy \(2\) możliwości.
Zatem łącznie mamy: \[\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot ...\cdot 2}_{10\text{ razy}}=2^{10}\] możliwości.
Rzucamy 3 razy sześcienną kostką do gry. Ile jest możliwych wyników?
W każdym rzucie możemy otrzymać jeden z sześciu wyników. Powiemy:
W pierwszym rzucie mamy \(6\) możliwości i w drugim rzucie mamy \(6\) możliwości i w trzecim rzucie mamy \(6\) możliwości.
Zatem łącznie mamy: \[6\cdot 6\cdot 6=6^3\] możliwości.
Rzucamy 5 razy sześcienną kostką do gry. Ile jest możliwych wyników?
W każdym rzucie możemy otrzymać jeden z sześciu wyników.
Zatem łącznie mamy: \[6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6=6^5\] możliwości.
Ze wsi \(A\) do wsi \(B\) prowadzi \(5\) ścieżek przez las. Na ile sposobów można odbyć spacer \(A-B-A\) tak, aby spacer ze wsi \(B\) do wsi \(A\) odbyć inną ścieżką niż ze wsi \(A\) do wsi \(B\)?
\( 5^4 \)
\( 5+4 \)
\( 4^5 \)
\( 5\cdot 4 \)
D
Na rysunku dany jest kwadrat, trójkąt i elipsa. Mamy również do dyspozycji \(8\) kolorów farb. Na ile różnych sposobów można pomalować wszystkie trzy figury tymi ośmioma kolorami, tak aby każda figura była w innym kolorze?
\( 27 \)
\( 336 \)
\( 512 \)
\( {8}^{8} \)
B
Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny w \( 10 \) kolorach, jest równa
\(100 \)
\(99 \)
\(90 \)
\(19 \)
C
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od \(5\) jest
\( 16 \)
\( 20 \)
\( 25 \)
\( 30 \)
B
Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa
\( 25 \)
\( 20 \)
\( 15 \)
\( 12 \)
B
Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste.
\(2125\)
Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(15\) lub \(20\)?
\(9\)
Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o \(2\) większa od cyfry jedności?
\(72\)
Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są parzyste?
\( 16 \)
\( 20 \)
\( 24 \)
\( 25 \)
B
Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są nieparzyste?
\( 16 \)
\( 20 \)
\( 24 \)
\( 25 \)
D
Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których wszystkie trzy cyfry są parzyste?
\( 40 \)
\( 64 \)
\( 100 \)
\( 125 \)
C
Wszystkich dodatnich liczb całkowitych czterocyfrowych mniejszych od \(4000\), zapisanych za pomocą cyfr: \(3, 5, 7, 9\) tak, że żadna cyfra się nie powtarza, jest
\( 6 \)
\( 24 \)
\( 64 \)
\( 256 \)
A
Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez \(5\)?
\( 90 \)
\( 100 \)
\( 180 \)
\( 200 \)
C
Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród \( 10 \) zawodników?
\(100 \)
\(90 \)
\(45 \)
\(20 \)
C
Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o \(3\) większa od cyfry setek.
\(630\)
Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od \(3000\), utworzonych wyłącznie z cyfr \(1, 2, 3\), przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?
\( 3 \)
\( 6 \)
\( 9 \)
\( 27 \)
D
Sąsiednie tematy