Funkcja kwadratowa typu \(f(x)=ax^2\)

Drukuj
Poziom podstawowy

Definicja

Funkcja kwadratowa - to funkcja którą można zapisać wzorem: \[ f(x)=ax^2+bx+c \] gdzie \(a, b, c\) są współczynnikami liczbowymi i \(a \ne 0\).
Wykres funkcji kwadratowej nazywamy parabolą.
W tym rozdziale zajmiemy się najprostszą funkcją kwadratową, którą określa wzór: \[f(x)=ax^2\]
Rozważmy wykres funkcji \(f(x)=x^2\).
Wykres możemy naszkicować obliczając wartości funkcji dla wybranych argumentów \(x\):
\(x\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)
\(f(x)=x^2\)\(4\)\(1\)\(0\)\(1\)\(4\)
Zatem: Z wykresu można odczytać następujące własności:
  • Dziedzinę: \(x\in \mathbb{R} \).
  • Zbiór wartości: \(\langle 0, +\infty )\).
  • Ramiona są skierowane do góry.
  • Punkt \((0,0)\) jest wierzchołkiem paraboli.
  • W wierzchołku funkcja przyjmuje wartość najmniejszą.
  • Funkcja nie przyjmuje wartości największej.
  • Oś \(y\)-ów jest osią symetrii paraboli.
  • Funkcja jest malejąca w przedziale \((-\infty ,0\rangle \) i rosnąca w przedziale \(\langle 0,+\infty )\).
Wierzchołek dzieli parabolę na dwie części, które nazywamy ramionami paraboli.
Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2\) rozchylają się w różny sposób w zależności od wartości współczynnika \(a\).
Wykresy funkcji \(f(x)=ax^2\) dla różnych dodatnich współczynników \(a\): Wszystkie parabole dla \(a\gt 0\) mają ramiona skierowane do góry.
Wykresy funkcji \(f(x)=ax^2\) dla różnych ujemnych współczynników \(a\): Wszystkie parabole dla \(a\lt 0\) mają ramiona skierowane do dołu.
Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(f(x)=ax^2\) decyduje o tym, czy ramiona paraboli skierowane są do góry (dla \(a\gt 0)\)), czy do dołu (dla \(a\lt 0)\) oraz o ich rozchyleniu.
Przeanalizujmy jeszcze dokładnie funkcję \(f(x)=-x^2\).
Wykres możemy naszkicować obliczając wartości funkcji dla wybranych argumentów \(x\):
\(x\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)
\(f(x)=x^2\)\(-4\)\(-1\)\(0\)\(-1\)\(-4\)
Zatem: Z wykresu można odczytać następujące własności:
  • Dziedzinę: \(x\in \mathbb{R} \).
  • Zbiór wartości: \((-\infty, 0\rangle \).
  • Ramiona są skierowane do dołu.
  • Punkt \((0,0)\) jest wierzchołkiem paraboli.
  • W wierzchołku funkcja przyjmuje wartość największą.
  • Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.
  • Oś \(y\)-ów jest osią symetrii paraboli.
  • Funkcja jest rosnąca w przedziale \((-\infty ,0\rangle \) i malejąca w przedziale \(\langle 0,+\infty )\).
Naszkicuj wykres funkcji \(f(x)\) o dziedzinie \(D\). Podaj zbiór wartości oraz określ wartość największą oraz najmniejszą dla tej funkcji.
\(f(x)=3x^2, \quad D=(-1 ; 2)\)
\(f(x)=-\frac{1}{4}x^2, \quad D=\langle -3; 1)\)
\(f(x)=-3x^2, \quad D=\left\langle -5 ; \frac{1}{2}\right\rangle \)
Punkt \(P\) należy do wykresu funkcji \(f(x)=ax^2\). Oblicz wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(x=2\).
\(P=\left(3,-\frac{3}{2}\right)\)
\(P=\left(-2,8\sqrt{2}\right)\)
\(f(3)=-\frac{2}{3}\)
\(f(3)=8\sqrt{2}\)
Prosta \(y=3\) przecina parabolę \(y=ax^2\) w punktach \(A\) i \(B\). Oblicz \(a\), jeśli:
\(|AB|=2\)
\(|AB|=6\sqrt{2}\)
\(a=3\)
\(a=\frac{1}{6}\)
Tematy nadrzędne i sąsiednie