Jesteś tu: SzkołaTrygonometriaMiara łukowa kątaMiara łukowa kąta - definicja i przykłady

Miara łukowa kąta - definicja i przykłady

Narysujmy okrąg o dowolnym promieniu \(r\) i zaznaczmy w nim kąt środkowy \(\alpha \).
Kąt \(\alpha \) wycina w okręgu łuk o długości \(l\). Przy takich oznaczeniach możemy sformułować następującą definicję:
Miarą łukową kąta α nazywamy stosunek długości łuku \(l\) do długości promienia \(r\).
Zauważmy, że miara łukowa kąta nie zależy od długości promienia, ponieważ długość łuku jest proporcjonalna do długości promienia. Na powyższym rysunku mniejszy okrąg ma promień długości \(|AB|\), a większy \(|AC|\). Stosunek długości łuku do długości promienia dla obu okręgów jest taki sam: \[\frac{l}{|AB|}=\frac{L}{|AC|}\]
Z powyższej zależności wynika następujący wniosek:
Dla okręgu o promieniu \(r=1\) miara łukowa kąta jest równa długości wyznaczonego łuku!
Narysujmy okrąg jednostkowy (czyli taki, który ma promień długości \(1\)) i zaznaczmy w nim dowolny kąt \(\alpha \). Kąt \(\alpha \) wyznaczył łuk \(l\), o długości \(0{,}83\). Zatem miara kąta \(\alpha \) to: \[\alpha = 0{,}83 \text{ rad}\]
Jednostką miary łukowej jest radian (w skrócie piszemy: rad).
Ile radianów ma kąt prosty?
Rysujemy okrąg o promieniu \(r = 1\) i zaznaczamy w jego środku kąt prosty: Długość łuku \(l\) jest równa \(\frac{1}{4}\) obwodu koła, zatem: \[l=\frac{1}{4}\cdot 2\pi r=\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 1=\frac{1}{4}\cdot 2\pi =\frac{1}{2}\pi \] Czyli: \[\alpha =\frac{1}{2}\pi \text{ rad}\] Oczywiście \(\frac{1}{2}\pi =\frac{\pi }{2}\), zatem prościej możemy zapisać: \[\alpha =\frac{\pi }{2} \text{ rad}\]
>Ile radianów ma kąt półpełny?
Rysujemy okrąg o promieniu \(r = 1\) i zaznaczamy w jego środku kąt półpełny: Długość łuku \(l\) jest równa połowie obwodu koła, zatem: \[l=\frac{1}{2}\cdot 2\pi r=\frac{1}{2}\cdot 2\pi \cdot 1=\frac{1}{2}\cdot 2\pi =\pi \] Czyli: \[\alpha =\pi \text{ rad}\]
Ile radianów ma kąt pełny?
Rysujemy okrąg o promieniu \(r = 1\) i zaznaczamy w jego środku kąt pełny: Długość łuku \(l\) jest równa całemu obwodowi koła, zatem: \[l=2\pi r=2\pi \cdot 1=2\pi \] Czyli: \[\alpha =2\pi \text{ rad}\]
Z powyższych przykładów warto zapamiętać, że:
\[\begin{split} &90^\circ =\frac{\pi }{2} \text{ rad}\\[3pt]&180^\circ =\pi \text{ rad}\\[3pt]&360^\circ =2\pi \text{ rad}\\[3pt] \end{split}\]
Tak naprawdę wystarczy zapamiętać tylko jedną z powyższych zależności, żeby szybko wyprowadzić sobie inną.
Pamiętając, że \(90^\circ =\frac{\pi }{2}\) możemy wyliczyć, że: \[360^\circ = 4\cdot 90^\circ = 4\cdot \frac{\pi }{2}=2\pi \]
Uwaga!
Zauważ, że w ostatnim przykładzie nie dopisałem do miary łukowej kąta słówka "rad". Jest to dosyć częsta praktyka, ponieważ znacznie skraca zapis, a i tak wiadomo, że chodzi o radiany.
Sąsiednie tematy
Miara łukowa kąta - definicja i przykłady (tu jesteś)