Jesteś tutaj: SzkołaWielomianyNierówności wielomianoweMetoda rozwiązywania nierówności wielomianowych
◀ Wprowadzenie

Metoda rozwiązywania nierówności wielomianowych

Nierówności wielomianowe drugiego stopnia (czyli tzw. nierówności kwadratowe) rozwiązujemy metodami opisanymi na tej stronie.
Metoda rozwiązywania bardziej skomplikowanych nierówności wielomianowych (stopnia \(3\) i wyższych) jest następująca:
  • Przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę nierówności, tak aby po prawej stronie zostało zero.
    Od tego momentu lewą stronę nierówności traktujemy jako wzór wielomianu, którego wykres będziemy chcieli naszkicować.
  • Wyznaczamy miejsca zerowe otrzymanego wielomianu.
  • Rysujemy wykres wielomianu i odczytujemy z niego rozwiązanie.
Powyższą metodę omówimy teraz na poniższym przykładzie.
Rozwiąż nierówność \(x^3 + 5x^2 \lt 4x + 20\).
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[x^3 + 5x^2 - 4x - 20 \lt 0\] Lewą stronę naszej nierówności traktujemy jako wielomian: \[W(x) = x^3 + 5x^2 - 4x - 20\] Teraz musimy wyznaczyć miejsca zerowe tego wielomianu. W tym celu rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} x^3 + 5x^2 - 4x - 20 &= 0\\[6pt] x^2(x + 5) - 4(x + 5) &= 0\\[6pt] (x + 5)(x^2 - 4) &= 0\\[6pt] (x + 5)(x - 2)(x + 2) &= 0\\[6pt] x + 5 = 0 \quad \lor \quad x - 2 = 0 \quad &\lor \quad x + 2 = 0\\[6pt] x = -5 \quad \lor \quad x = 2 \quad &\lor \quad x = -2 \end{split}\] Mamy już wyliczone miejsca zerowe wielomianu \(W(x)\). Możemy zatem naszkicować wykres tego wielomianu: Wracamy teraz do naszej nierówności i patrzymy na jej znak: \[x^3 + 5x^2 - 4x - 20 \lt 0\] W tej nierówności występuje znak mniejszości (\(\lt\)), zatem jej rozwiązaniem będzie zbiór tych wszystkich argumentów \(x\), dla których wykres wielomianu jest poniżej osi \(x\)-ów.
Zaznaczamy na wykresie odpowiednie przedziały: Rozwiązaniem naszej nierówności jest zbiór: \[x \in (-\infty; -5) \cup (-2; 2)\]
Sąsiednie tematy