Matura rozszerzona - zbiór zadań - zadania optymalizacyjne

Zbiór zadań do kursu: Matura Rozszerzona od 2023.

Ciężarówka ma do pokonania trasę długości \(S\) km, poruszając się po autostradzie ze stałą prędkością \(v\) km/h. Minimalna prędkość dla ciężarówek na autostradzie wynosi \(40\) km/h, maksymalna - \(80\) km/h. Wiemy, że litr paliwa kosztuje \(8\) złotych, a kierowca otrzymuje \(42\) złote za godzinę swej pracy. Zużycie paliwa w ciągu jednej godziny jazdy autostradą w zależności od prędkości \(v\) wyrażone w litrach można opisać funkcją \(f(v)=7+\frac{v^2}{400}\).

Oblicz, przy jakiej prędkości koszt przejazdu będzie najmniejszy. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że koszt przejazdu jest sumą kosztu paliwa oraz wynagrodzenia kierowcy.

\(v=70\) km/h

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne \(ABCDEFGH\), w których odcinek łączący punkt \(O\) przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) podstawy \(ABCD\) z dowolnym wierzchołkiem podstawy \(EFGH\) ma długość \(d\) (zobacz rysunek).

Wyznacz zależność objętości \(V\) graniastosłupa od jego wysokości \(h\) i podaj dziedzinę funkcji \(V(h)\).

Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Zapisz obliczenia.

\(h=\frac{d}{\sqrt{3}}\)

Grażyna planuje zrobienie pudełka (bez wieczka) w kształcie prostopadłościanu. W tym celu zamierza wykorzystać prostokątny kawałek tektury o wymiarach \(10 \text{ cm} \times 16 \text{ cm}\), odcinając z każdego rogu kwadrat o boku \(x\) cm (zobacz rysunek).

Oblicz wartość \(x\), dla której objętość otrzymanego pudełka będzie największa. Oblicz tę największą objętość pudełka. Zapisz obliczenia.

\(V(2)=144\)

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym \(18\).

Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem \(P(b)=\frac{(18-2b)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}\)

Wyznacz dziedzinę funkcji \(P\).

Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

\(D=\left(\frac{9}{2},9\right)\)
Długości boków: \(6,6,6\).

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności \(144 \operatorname{m}^3\). Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać \(9\) metrów.

Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– \(100\) zł za \(1 \operatorname{m}^2\) dna
– \(75\) zł za \(1 \operatorname{m}^2\) ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

\(6, 6, 4\)

Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(12\), jest taki, który ma największą objętość. Oblicz długości krawędzi tego graniastosłupa i jego objętość.

\(\frac{16\sqrt{3}}{27}\)

Rozważmy wszystkie ostrosłupy prawidłowe sześciokątne, w których suma długości krótszej przekątnej podstawy i wysokości ostrosłupa jest równa \(9\). Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

\(V_{max}(2\sqrt{3})=18\sqrt{3}\)

Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(-2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek). Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

\(P(x)=4-x^2+2x-\frac{1}{2}x^3\)
\(C=\left (\frac{2}{3}, \frac{16}{9} \right )\)

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \(V = 2\). Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

\(P = 6\sqrt{3}\)

Powierzchnia całkowita graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa \(S\sqrt{3}\). Wyznacz największą z możliwych objętości tego graniastosłupa, wynik zapisz w najprostszej postaci.

\(V_{max}=\frac{S\sqrt{S}}{6}\)

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe \(0{,}5\) cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe \(0{,}3\) cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię \(60\ \text{cm}^2\). Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

\(6\) i \(10\)

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym suma długości trzech różnych krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka wynosi \(S\). Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję długości jednej z jego krawędzi i podaj dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary graniastosłupa, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

\(a=H=\frac{S}{3}, V=\frac{\sqrt{3}}{108}S^3\)

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy \(a\) i wysokości trapezu jest równa \(2\).

Wyznacz wszystkie wartości \(a\), dla których istnieje trapez o podanych własnościach.

Wykaż, że obwód \(L\) takiego trapezu, jako funkcja długości \(a\) dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem \(L(a) = \frac{4a^2 - 8a + 8}{a}\).

Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.

a) \(a \in (1, 2)\)
c) \(\operatorname{tg} \alpha = 1\)