Poziom rozszerzony
Liczby dodatnie \(a\) i \(b\) spełniają równość \(a^2+2a=4b^2+4b\). Wykaż, że \(a=2b\).
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\le 2\).
Przekształcamy tezę: \(x+y\le 2\) do kolejnych nierówności równoważnych.
Na początku podnosimy nierówność stronami do kwadratu (mamy pewność, że obie strony nierówności są dodatnie, bo \(x\) i \(y\) są dodatnie): \[\begin{split} x+y & \le 2\qquad /^2 \\[6pt] (x+y)^2 & \leq 4 \\[6pt] x^2+2 x y+y^2 & \le 2 \cdot 2 \\[6pt] \end{split}\] Teraz korzystamy z założenia, że: \(2=x^2+y^2\): \[\begin{split} x^2+2 x y+y^2 & \le 2 \cdot\left(x^2+y^2\right) \\[6pt] x^2+2 x y+y^2 & \le 2 x^2+2 y^2 \\[6pt] -x^2+2 x y-y^2 & \le 0 \\[6pt] x^2-2 x y+y^2 & \ge 0 \\[6pt] (x-y)^2 & \ge 0\end{split}\] Otrzymaliśmy nierówność równoważną, która jest prawdziwa dla dowolnych dodatnich \(x\) i \(y\), co dowodzi tezy.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(2x\gt y\), spełniona jest nierówność \[7x^3+4x^2y\ge y^3+2xy^2-x^3\]
Liczby \(a\), \(b\), \(k\) są całkowite i \(k\) jest różna od zera. Wykaż, że jeśli liczby \(a+b\) oraz \(a\cdot b\) są podzielne przez \(k\), to liczba \(a^3-b^3\) też jest podzielna przez \(k\).
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) i dla każdej liczby całkowitej \(m\) liczba \(k^3m − km^3\) jest podzielna przez \(6\).
Wykaż, że jeżeli \(a>b\ge 1\), to \(\frac{a}{2+a^3}\lt \frac{b}{2+b^3}\).
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x, y\) zachodzi nierówność \(2x^2+5y^2+10\gt6xy+4y\).
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) większej od \(2\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(5x^2-6xy+3y^2-2x-4\gt0\).
Niech \(a\), \(b\) będą liczbami całkowitymi, dla których zachodzi równość \(2a^2+a=3b^2+b\).
Wykaż, że jeśli \(5\) jest dzielnikiem liczby \(a-b\), to \(25\) również jest dzielnikiem liczby \(a-b\).
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) prawdziwe są nierówności \[2(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})\lt\frac{1}{\sqrt{n+1}}\quad \text{i}\quad \frac{1}{\sqrt{n+1}}\lt2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\]
Niech \(a\), \(b\), \(c\) będą takimi liczbami całkowitymi, że \(a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{6}=0\).
Wykaż, że \(a=b=c=0\).
Liczby rzeczywiste \(x\) oraz \(y\) spełniają jednocześnie równanie \(x + y = 4\) i nierówność \(x^3-x^2y\le xy^2-y^3\).
Wykaż, że \(x=2\) oraz \(y=2\).
Liczby \(a\), \(b\), \(c\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy równej \(7\). Jedna z tych liczb jest wielokrotnością liczby \(7\).
Wykaż, że iloczyn \(a\cdot b\cdot c\) jest podzielny przez \(294\).
Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \(\sqrt{2^{50} + 1} + \sqrt{2^{50} - 1} \lt 2^{26}\).
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) takich, że \(|x|\ne |y|\), prawdziwa jest nierówność \(\frac{(x-y)(x^3+y^3)}{(x+y)(x^3-y^3)}\gt \frac{1}{3}\).