Poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie:
- \(\sin^{2}x - \cos^{2}x = \sin x\)
- \(2\sin x \cdot \cos\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -1\)
- \(\sin x \cdot \operatorname{tg} (2x) = \sqrt{3}\,\sin(\pi - x)\)
- \(\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{6}}{2}\)
- \(\sin 2x + \cos x = 0\)
- \(\sin^{4}(5x) + \cos^{4}(5x) = \frac{3}{4}\) w przedziale \(\left\langle \frac{\pi}{50};\,\frac{\pi}{5}\right\rangle \)
- \(\sin x - \cos 4x = \sin 7x\) w przedziale \((0;\,\pi)\)
- \(\sin 3x \cdot \sin 6x = \sin 8x \cdot \sin 5x\) w przedziale \(\left\langle 0;\,\frac{\pi}{2}\right\rangle \)
Rozwiąż równanie \[4\sin(4x)\cos(6x)=2\sin(10x)+1\]
\(x=\frac{7}{12}\pi + k\pi\) lub \(x=\frac{11}{12}\pi + k\pi\)
Rozwiąż równanie \(\cos 2x+3\cos x=-2\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle \).
Rozwiąż równanie \(\sin6x + \cos3x = 2\sin3x + 1\) w przedziale \(\langle 0, \pi \rangle\).
\(x = 0, x = \frac{2}{3}\pi , x = \frac{7}{18}\pi, x = \frac{11}{18}\pi.\)
Rozwiąż równanie \[ (3-2 \cos x)^{2}=8 \sin ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)-8 \cos ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)+12 \] w zbiorze \((0, \pi)\). Zapisz obliczenia.
\(x=\frac{2}{3} \pi\)
Rozwiąż równanie \(\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos x=\frac{3}{2}\) w przedziale \(\langle 0; 2\pi \rangle \).
\(x\in \left\{0, \frac{\pi}{3}, 2\pi \right\}\)
Rozwiąż równanie \((\cos x) \Biggl[ \sin \biggl(x - \frac{\pi}{3} \biggl) + \sin \biggl(x + \frac{\pi}{3} \biggl)\Biggl] = \frac{1}{2}\sin x\).
\(x \in \biggl\{-\frac{\pi}{3} + 2k\pi, k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi\biggl\}\)
Rozwiąż równanie \[\sin(5x)+\cos x=0\] w zbiorze \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\). Zapisz obliczenia.
\(-\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, -\frac{5\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\)
Rozwiąż równanie \(\cos 3x+\sin 7x=0\) w przedziale \(\langle0,\pi\rangle\).
\(x\in \left\{\frac{3}{8}\pi,\frac{7}{8}\pi,\frac{3}{20}\pi,\frac{7}{20}\pi,\frac{11}{20}\pi,\frac{15}{20}\pi,\frac{19}{20}\pi\right\}\)
Rozwiąż równanie \(3\cos 2x+10\cos^{2} x=24\sin x-3\) dla \(x\in \langle 0;2\pi \rangle \).
Rozwiąż równanie: \[\sin \left(x+\frac{1}{4}\pi \right)\cdot \cos\left(x+\frac{1}{4}\pi\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}\]
\(x=-\frac{\pi}{8}+k\pi \lor x=\frac{\pi}{8}+k\pi\)
Rozwiąż równanie \(\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0\) w przedziale \(\langle0,\pi \rangle \).
\(x=0\), \(x=\frac{\pi}{2}\), \(x=\frac{2\pi}{3}\), \(x=\pi\)
Rozwiąż równanie \[ \sin ^{4} x=\sin x \cdot \cos x-\cos ^{4} x \] w zbiorze \([-\pi, 2 \pi]\). Zapisz obliczenia.
\(\left(-\frac{3}{4} \pi\right), \frac{1}{4} \pi\) oraz \(\frac{5}{4} \pi\)
Rozwiąż równanie \(\cos 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)\) w przedziale \(\langle 0,\pi \rangle \).
Rozwiąż równanie \[\cos^2x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin x\cos x-\sin^2x=0\] w przedziale \([-\pi,\pi]\). Zapisz obliczenia.
\(x=-\frac{5}{6}\pi\ \lor x=\frac{\pi}{6}\ \lor x=-\frac{\pi}{3}\ \lor x=\frac{2}{3}\pi\)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie \((\cos x+a)\cdot (\sin^{2} x-a)=0\) ma w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle \) dokładnie trzy różne rozwiązania.
\(a=1\)