Poziom rozszerzony
Wykres funkcji \(f(x)=mx-x^2\) odbito symetrycznie względem osi \(OX\), a następnie przesunięto o wektor \([1,2-m]\), otrzymując wykres funkcji \(g(x)\). Wyznacz wszystkie parametry \(m\), dla których istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista \(x\) spełniająca nierówność: \(g(x)\le0\).
\(m=2\sqrt{3}-2\) lub \(m=-2\sqrt{3}-2\)
Wykres funkcji \(g\) otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji \(f(x)=|x-2|-6\) o wektor \(\vec{v}=[1, 2]\), a następnie odbijając go symetrycznie względem początku układu współrzędnych. Zbadaj liczbę rozwiązań równania \(g(x)=m^2-5\) w zależności od parametru \(m\).
\(2\) rozwiązania \(\Leftrightarrow m\in (-3;3)\)
\(1\) rozwiązanie \(\Leftrightarrow m=-3 \lor m=3\)
\(0\) rozwiązań \(\Leftrightarrow m\in (-\infty; -3)\cup (3;+\infty )\)
Wykres funkcji \(g(x)=2(x-3)^2+2\) otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji \(f(x)=2(x+5)^2-2\) o wektor \([a, b]\).
Wyznacz parametr \(m\) dla którego układ równań: \[\begin{cases} ax+y=2 \\ -a^2x-2by=1+m \end{cases} \] jest nieoznaczony.
\(m=-17\)
Dana jest funkcja \(f\): \[ f(x)=\left\{\begin{array}{cl} |x|-x & \text { dla } x \in\langle-3 ; 4\rangle \\ 1 & \text { dla } x \in(-\infty ;-3) \cup(4 ; \infty) \end{array}\right. \] oraz \(g(x)=f(-x)-3\).
Wyznacz wszystkie parametry \(m\) dla których równanie \(g(x)=m^2-3\) jest oznaczone.
\(m\in \langle-\sqrt{6};\sqrt{6} \rangle \backslash \{-1, 0, 1\} \)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(k\), dla których równanie \(k^2x-1=x(3k-2)-k\) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych.
\(k\ne 2\)
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(m\) prawdziwa jest nierówność \(8x^2-4mx+2m^2\ge 12x+6m-18\)
Określ liczbę rozwiązań równania \(mx^2+mx-1-2m=0\), gdzie \(x\in \langle -2,2 \rangle \), w zależności od wartości parametru \(m\in \mathbb{R} \).
\(0\) rozwiązań dla \(m\in (-\frac{4}{9}, \frac{1}{4})\)
\(1\) rozwiązanie dla \(m\ge \frac{1}{4}\lor m=-\frac{4}{9}\)
\(2\) rozwiązania dla \(m\lt -\frac{4}{9}\)
Funkcja \(f\), której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, określona jest wzorem \(f(x)=(m-1)x^2-2x-m+1\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których wykres funkcji \(f\) przecina się z prostą o równaniu \(y=-x+1\) w dwóch punktach, których pierwsze współrzędne mają przeciwne znaki.
\(m\in (-\infty ,0)\cup (1,+\infty )\)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których wykresy funkcji \(f\) i \(g\), określonych wzorami \(f(x)=x-2\) oraz \(g(x)=5-ax\), przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.
\(a\in \left(-1;\frac{5}{2}\right)\)