Jesteś tutaj: MaturaMatura - dodatkowe materiałyKurs do matury podstawowej z matematykiMatura podstawowa z matematyki - kurs - geometria przestrzenna
◀ Matura podstawowa z matematyki - kurs - geometria analityczna

Matura podstawowa z matematyki - kurs - geometria przestrzenna

Szybka nawigacja do zadania numer: 10 20 30 40 50 60 70 80 .
Objętość sześcianu jest równa \(27\) cm3. Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu?
A.\( 18 \) cm
B.\( 36 \) cm
C.\( 24 \) cm
D.\( 12 \) cm
B
Objętość sześcianu, w którym przekątna ściany bocznej ma długość \(\frac{\sqrt{2}}{4}\), jest równa
A.\( \frac{1}{64} \)
B.\( \frac{1}{16} \)
C.\( 16 \)
D.\( 64 \)
A
Suma długości krawędzi sześcianu wynosi \(24\) cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:
A.\( 32 \) cm2
B.\( 24 \) cm2
C.\( 16 \) cm2
D.\( 8 \) cm2
B
Objętość sześcianu jest równa \(64\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
A.\( 512 \)
B.\( 384 \)
C.\( 96 \)
D.\( 16 \)
C
Objętość sześcianu jest równa \(27\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
A.\( 54 \)
B.\( 18 \)
C.\( 12\sqrt{3} \)
D.\( 24\sqrt{3} \)
A
Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe \( 4 \). Objętość tego sześcianu jest równa
A.\(6 \)
B.\(8 \)
C.\(24 \)
D.\(64 \)
B
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa \(24\). Objętość tego sześcianu jest równa
A.\( 64 \)
B.\( 27 \)
C.\( 24 \)
D.\( 8 \)
D
Objętość sześcianu jest równa \(27\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa
A.\( 2\sqrt{2} \)
B.\( 3\sqrt{2} \)
C.\( 2\sqrt{3} \)
D.\( 3\sqrt{3} \)
D
Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o \(10\) większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest
A.czworokąt
B.pięciokąt
C.sześciokąt
D.dziesięciokąt
B
Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości \(7\) jest równa \(28\sqrt{3}\) . Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa
A.\( 2 \)
B.\( 4 \)
C.\( 8 \)
D.\( 16 \)
B
Graniastosłup ma \(15\) krawędzi. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup?
A.\( 10 \)
B.\( 5 \)
C.\( 15 \)
D.\( 30 \)
A
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(6\), a kąt nachylenia jego przekątnej do płaszczyzny podstawy jest równy \(60^\circ \). Długość tej przekątnej jest równa
A.\(3\)
B.\(\sqrt{3}\)
C.\(2\sqrt{3}\)
D.\(4\sqrt{3}\)
D
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(90\). Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe
A.\( 300 \)
B.\( 300\sqrt{3} \)
C.\( 300+50\sqrt{3} \)
D.\( 300+25\sqrt{3} \)
C
Graniastosłup ma \(2n+6\) wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa
A.\( n+3 \)
B.\( 4n+8 \)
C.\( 6n+18 \)
D.\( 3n+9 \)
D
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) o podstawach \(ABC\) i \(DEF\) i krawędziach bocznych \(AD\), \(BE\) i \(CF\). Oblicz pole trójkąta \(ABF\) wiedząc, że \(|AB|=10\) i \(|CF|= 11\). Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim trójkąt \(ABF\).
\(P=70\)
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) o podstawach \(ABC\) i \(DEF\) i krawędziach bocznych \(AD, BE\) i \(CF\) (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy \(AB\) jest równa \(8\), a pole trójkąta \(ABF\) jest równe \(52\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.
\(V=176\sqrt{3}\)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDEFGH\) przekątna \(AC\) podstawy ma długość \(4\). Kąt \(ACE\) jest równy \(60^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCDE\) przedstawionego na poniższym rysunku.
\(V=\frac{32\sqrt{3}}{3}\)
Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) ma długość \(2\sqrt{219}\), a krawędź podstawy - \(10\sqrt{2}\). Wyznacz:
  • Wysokość graniastosłupa.
  • Pole trójkąta \(EFG\), którego wierzchołkami są środki trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka podstawy.
\(H=2\sqrt{119}\), \(P_{\Delta EFG}=60\)
Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa \(24\). Wtedy liczba wszystkich jego wierzchołków jest równa
A.\( 6 \)
B.\( 8 \)
C.\( 12 \)
D.\( 16 \)
D
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość graniastosłupa jest o \(4\) krótsza od przekątnej podstawy i o \(8\) krótsza od przekątnej graniastosłupa. Oblicz sinus kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy.
\(\sin \alpha =\frac{3}{5}\)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \( ABCDEFGH \) połączono punkty będące środkami krawędzi \( BC \), \( CD \), \( AD \) i \( GH \). Wyznacz objętość powstałej bryły wiedząc, że \( \vert{DB}\vert=5\sqrt{2} \) i kąt \( DBH \) ma miarę \( 60^\circ \).
\(V=\frac{125\sqrt{6}}{12}\)
Graniastosłup ma \( 10 \) ścian. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa wynosi:
A.\(8 \)
B.\(16 \)
C.\(24 \)
D.\(32 \)
C
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach \(5\times 3\times 4\) jest równe
A.\( 94 \)
B.\( 60 \)
C.\( 47 \)
D.\( 20 \)
A
Przekątna prostopadłościanu o wymiarach \(2 \times 3 \times 5\) ma długość
A.\( \sqrt{13} \)
B.\( \sqrt{29} \)
C.\( \sqrt{34} \)
D.\( \sqrt{38} \)
D
Wykaż, że przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości \(a, b, c\) ma długość \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
Dany jest prostopadłościan, którego podstawą jest kwadrat o krawędzi długości \(x + 5\), a wysokość ma długość \(2x + 4\). Podaj wzór, w postaci wyrażenia algebraicznego, opisujący pole powierzchni tego prostopadłościanu. Przekształć to wyrażenie do najprostszej postaci.
\(P=10x^2+76x+130\)
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \( 198 \). Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to \( 1:2:3 \). Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
\(3\sqrt{14}\)
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Siatką ostrosłupa czworokątnego \(ABCDE\) jest
B
Krawędź sześcianu ma długość \(9\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa
A.\( \sqrt[3]{9} \)
B.\( 9\sqrt{2} \)
C.\( 9\sqrt{3} \)
D.\( 9+9\sqrt{2} \)
C
Przekątna sześcianu ma długość \(3\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
A.\( 54 \)
B.\( 36 \)
C.\( 18 \)
D.\( 12 \)
C
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(24\) cm2. Objętość tego sześcianu jest równa
A.\( 8 \) cm3
B.\( 16 \) cm3
C.\( 27 \) cm3
D.\( 64 \) cm3
A
Długość krawędzi sześcianu zwiększono o \(20\%\). Oblicz, o ile procent wzrosła objętość tego sześcianu.
\(72{,}8\%\)
Przekątna sześcianu ma długość \(9\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.
\(162\)
Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu, a jego płaszczyzną podstawy.
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Krawędź sześcianu jest o \(4\) krótsza od jego przekątnej. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.
\(P_c=96+48\sqrt{3}\)
Długość krawędzi sześcianu jest o \(2\) krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.
\(3+\sqrt{3}\)
Przekątna ściany sześcianu ma długość \( 5\sqrt{2} \). Pole powierzchni tego sześcianu jest równe:
A.\(5 \)
B.\(25 \)
C.\(150 \)
D.\(125 \)
C
Ostrosłup ma \(18\) wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa
A.\( 11 \)
B.\( 18 \)
C.\( 27 \)
D.\( 34 \)
D
Podstawą ostrosłupa \(ABCD\) jest trójkąt \(ABC\). Krawędź \(AD\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCD\), jeśli wiadomo, że \(AD = 12\), \(BC = 6\), \(BD = CD = 13\).
\(V=48\)
Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest romb \(ABCD\) o boku długości \(4\). Kąt \(ABC\) rombu ma miarę \(120^\circ \) oraz \(|AS|=|CS|=10\) i \(|BS|=|DS|\). Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi \(BS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
\(\sin \alpha =\sqrt{\frac{22}{23}}\)
Podstawą ostrosłupa \(ABCDW\) jest prostokąt \(ABCD\). Krawędź boczna \(DW\) jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne \(AW\), \(BW\) i \(CW\) mają następujące długości: \(|AW| = 6\), \(|BW| = 9\), \(|CW| = 7\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
\(8\sqrt{10}\)
Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wysokość \(SE\) ściany bocznej \(ADS\) jest jednocześnie wysokością ostrosłupa, a punkt \(E\) jest środkiem krawędzi \(AD\) (zobacz rysunek). Pole ściany \(ADS\) jest równe \(12\) cm2, a objętość ostrosłupa jest równa \(48\) cm3. Oblicz miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej \(CS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. Wynik zaokrąglij do \(1^\circ \).
\(31^\circ \)
Podstawą ostrosłupa \(ABCDE\) jest kwadrat \(ABCD\). Punkt \(F\) jest środkiem krawędzi \(AD\), odcinek \(EF\) jest wysokością ostrosłupa (patrz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że \(|AE|=15\), \(|BE|=17\).
\(\frac{64\sqrt{209}}{3}\)
Jeżeli ostrosłup ma \( 10 \) krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa
A.\(5 \)
B.\(7 \)
C.\(8 \)
D.\(10 \)
A
Ostrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest równa \( 81\sqrt{3} \). Objętość graniastosłupa jest równa
A.\(27 \)
B.\(27\sqrt{3} \)
C.\(243 \)
D.\(243\sqrt{3} \)
D
Kąt \(\alpha \) nachylenia ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy zaznaczony jest na rysunku:
C
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość \(5\) cm, a krawędź podstawy \(\sqrt{8}\) cm. Wówczas cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy:
A.\( \frac{\sqrt{2}}{5} \)
B.\( 0{,}6 \)
C.\( 0{,}4 \)
D.\( \frac{\sqrt{8}}{10} \)
C
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe \(100\) cm2, a jego pole powierzchni bocznej jest równe \(260\) cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
\(V=400\)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) i wierzchołku \(S\) trójkąt \(ACS\) jest równoboczny i ma bok długości \(8\). Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).
\(\sin \alpha =\frac{\sqrt{42}}{7}\)
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Pole trójkąta równoramiennego \(ACS\) jest równe \(120\) oraz \(|AC| : |AS| = 10 : 13\) . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
\(20\sqrt{313}\)
Piramida Cheopsa ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Każda ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem \(52^\circ \), a pole powierzchni ściany bocznej jest równe \(21\ 550 \) m2. Oblicz objętość piramidy. Wynik zapisz w postaci \(a\cdot 10k\), gdzie \(1\le a\lt 10\) i \(k\) jest liczbą całkowitą.
\(2{,}61\cdot 10^6\)
Piramida ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość jest równa \(6\), a długość krawędzi bocznej jest równa \(2\sqrt{15}\). Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej piramidy do podstawy.
\(60^\circ \)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym objętość jest równa \(32\), zaś krawędź podstawy jest równa \(4\). Wysokość tego ostrosłupa jest równa:
A.\( \frac{2}{3} \)
B.\( \frac{4}{3} \)
C.\( 2 \)
D.\( 6 \)
D
Drut o długości \(96\) cm wykorzystano w całości na wykonanie szkieletu ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wszystkich krawędziach równej długości. Zaznacz na rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy i wyznacz cosinus tego kąta.
\(\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa \( 22 \), a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy \( \frac{4\sqrt{6}}{5} \). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
\(V=\frac{3200\sqrt{6}}{3}\)
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \(24\), a kąt płaski ściany bocznej przy podstawie ma miarę \(\alpha \) i \(\operatorname{tg} \alpha =2\). Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
\(\frac{\sqrt{3}}{6}\)
Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ\). Odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi jest równa \(4\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
\(V=\frac{128\sqrt{3}}{3}\)
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) (tak jak na rysunku) jest równa \(72\), a promień okręgu wpisanego w podstawę \(ABC\) tego ostrosłupa jest równy \(2\). Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.
\(\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sqrt{3}}{9}\)
Pole powierzchni bocznej walca, którego podstawa ma średnicę \(4\) jest równe \(8\pi \). Wysokość tego walca jest równa
A.\( 8 \)
B.\( 4 \)
C.\( 2 \)
D.\( \frac{1}{2} \)
C
Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku \(a\). Jeżeli \(r\) oznacza promień podstawy walca, \(h\) oznacza wysokość walca, to
A.\( r+h=a \)
B.\( h-r=\frac{a}{2} \)
C.\( r-h=\frac{a}{2} \)
D.\( r^2+h^2=a^2 \)
B
Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości \(6\). Objętość tego walca jest równa
A.\( 18\pi \)
B.\( 54\pi \)
C.\( 108\pi \)
D.\( 216\pi \)
B
Objętość walca o wysokości \(8\) jest równa \(72\pi\). Promień podstawy tego walca jest równy
A.\( 9 \)
B.\( 8 \)
C.\( 6 \)
D.\( 3 \)
D
Objętość walca, w którym wysokość jest trzykrotnie dłuższa od promienia podstawy, jest równa \( 24\pi \). Zatem promień podstawy tego walca ma długość
A.\(4 \)
B.\(8 \)
C.\(2 \)
D.\(6 \)
C
Pole powierzchni całkowitej walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku długości \( 4 \), jest równe
A.\(256\pi \)
B.\(128\pi \)
C.\(48\pi \)
D.\(24\pi \)
D
Pole powierzchni bocznej stożka o wysokości \(4\) i promieniu podstawy \(3\) jest równe
A.\( 9\pi \)
B.\( 12\pi \)
C.\( 15\pi \)
D.\( 16\pi \)
C
Jeśli średnica podstawy stożka jest równa \(12\), a wysokość stożka \(8\), to kąt \(\alpha\) między wysokością stożka, a jego tworzącą jest taki, że:
A.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{8} \)
B.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{8}{12} \)
C.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{6}{8} \)
D.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{8}{6} \)
C
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku \(a\). Objętość tego stożka wyraża się wzorem
A.\( \frac{\sqrt{3}}{6}\pi a^3 \)
B.\( \frac{\sqrt{3}}{8}\pi a^3 \)
C.\( \frac{\sqrt{3}}{12}\pi a^3 \)
D.\( \frac{\sqrt{3}}{24}\pi a^3 \)
D
Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(4\) i \(6\) obracamy wokół dłuższej przyprostokątnej. Objętość powstałego stożka jest równa
A.\( 96\pi \)
B.\( 48\pi \)
C.\( 32\pi \)
D.\( 8\pi \)
C
Tworząca stożka ma długość \(4\) i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ \). Objętość tego stożka jest równa
A.\( \frac{8\sqrt{3}\pi }{3} \)
B.\( \frac{10\sqrt{3}\pi }{3} \)
C.\( 3\sqrt{3}\pi \)
D.\( 16 \)
A
Tworząca stożka ma długość \( 4 \) i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \( 45^\circ \). Wysokość tego stożka jest równa
A.\(2\sqrt{2} \)
B.\(16\pi \)
C.\(4\sqrt{2} \)
D.\(8\pi \)
A
Stożek powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(13\) i \(15\) wokół dłuższej przyprostokątnej. Promień podstawy tego stożka jest równy
A.\( 15 \)
B.\( 13 \)
C.\( 7{,}5 \)
D.\( 6{,}5 \)
B
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości \(6\). Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe:
A.\( 12\pi \)
B.\( 18\pi \)
C.\( 27\pi \)
D.\( 36\pi \)
B
Tworząca stożka jest o \(2\) dłuższa od promienia podstawy. Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe \(15\pi \). Tworząca stożka ma zatem długość
A.\( 1 \)
B.\( 5 \)
C.\( 3 \)
D.\( 15 \)
B
Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest ćwiartką koła o promieniu \(8\) cm. Oblicz wysokość tego stożka.
\(h=2\sqrt{15}\)
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości \(12\). Wysokość stożka jest równa \(8\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.
\(60\pi \)
Jeżeli wysokość stożka zwiększymy trzykrotnie, a długość promienia zmniejszymy trzy razy, to objętość nowego stożka:
A.zwiększy się trzy razy
B.zmniejszy się trzy razy
C.zmniejszy się dziewięć razy
D.nie zmieni się
B
Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest
A.sześć razy dłuższa od wysokości walca
B.trzy razy dłuższa od wysokości walca
C.dwa razy dłuższa od wysokości walca
D.równa wysokości walca
C
Metalowy stożek, którego tworząca o długości \(10\) jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ \), przetopiono na sześć jednakowych kulek. Oblicz promień kulki.
\(r=\frac{5}{2}\)
Kula ma objętość \(V = 288\pi\). Promień \(r\) tej kuli jest równy
A.\( 6 \)
B.\( 8 \)
C.\( 9 \)
D.\( 12 \)
A
Objętość kuli o promieniu \( \;r=\pi\;\text{dm}\; \) jest równa
A.\(\frac{4}{3}\pi\;\text{dm}^3 \)
B.\(\frac{4}{3}\pi^4\;\text{dm}^3 \)
C.\(\frac{3}{4}\pi^4\;\text{dm}^3 \)
D.\(\frac{3}{4}\pi^3\;\text{dm}^3 \)
B
W tym nagraniu wideo pokazuję jak zaznaczać różne kąty w bryłach.
Czas nagrania: 20 min.