Matura rozszerzona 2025 - maj

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność \(N\) populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą \[ N(t)=N_{0} \cdot k^{t} \quad \text { dla } \quad t \geq 0 \] gdzie:

\(N_{0}\) - liczebność populacji w chwili \(t=0\) rozpoczęcia obserwacji,
\(k\) - stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji,
\(t\) - czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili \(t=0\) rozpoczęcia obserwacji.

W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa \(10 000\), a po dwóch godzinach była równa \(15625\).

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b \neq \frac{1}{2} a\), prawdziwa jest nierówność \[ (a+2 b)^{3}\gt 8 a^{2} b+16 a b^{2} \]

W trójkącie równobocznym \(A B C\) punkt \(D\) leży na boku \(B C\). Stosunek pola trójkąta \(A B D\) do pola trójkąta \(A D C\) jest równy \(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\).

Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu \(a_{1}+a_{3}=20\) i \(a_{1}^{2}+a_{3}^{2}=328\).

W trapezie \(A B C D\) o podstawach \(A B\) i \(C D\) punkt \(E\) jest środkiem ramienia \(A D\), a punkt \(F\) jest środkiem ramienia \(B C\) trapezu. Stosunek pola trapezu \(E F C D\) do pola trapezu \(A B F E\) jest równy \(\frac{1}{2}\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są okręgi \(\mathcal{O}_{1}\) oraz \(\mathcal{O}_{2}\) o równaniach:

• \(\mathcal{O}_{1}:(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=5\)
• \(\mathcal{O}_{2}:(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=45\).

Te okręgi przecinają się w punktach \(A\) oraz \(B\). Punkt \(A\) ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt \(M\) spełnia warunek \(\overrightarrow{AM}=-2 \cdot \overrightarrow{BM}\).

Podstawą ostrosłupa \(A B C D S\) jest kwadrat \(A B C D\). Krawędź boczna \(S A\) jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość \(3 \sqrt{34}\). Cosinus kąta \(\beta\) między ścianami bocznymi \(C D S\) i \(B C S\) tego ostrosłupa jest równy \(\left(-\frac{9}{25}\right)\).

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[ f(x)=(2-m) x^{2}-2(2 m+1) x+m+8 \] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\), gdzie \(m\) jest liczbą rzeczywistą różną od \(2\).

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od \(5\), a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa \(5\).

Wykaż, że objętość \(V\) stożka, jako funkcja wysokości \(h\) stożka, wyraża się wzorem \[ V(h)=\frac{\pi}{3} \cdot \frac{25 h^{3}}{h^{2}-25} \]

Objętość \(V\) stożka, jako funkcja wysokości \(h\) stożka, wyraża się wzorem \[ V(h)=\frac{\pi}{3} \cdot \frac{25 h^{3}}{h^{2}-25} \] dla \(h \in(5,+\infty)\).