Matura 2023 maj PR (nowa matura)

W chwili początkowej (\(t = 0\)) masa substancji jest równa \(4\) gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa \(19\%\) masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej \(t \ge 0\) funkcja \(m(t)\) określa masę substancji w gramach po \(t\) pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

Wyznacz wzór funkcji \(m(t)\). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od \(1{,}5\) grama. Zapisz obliczenia.

\(m(t)=4\cdot (0{,}81)^t\), \(t=5\)

Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe \(\frac{1}{4}\).

Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.

\(\frac{1}{64}\)

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \frac{3x^2-2x}{x^2+2x+8}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Punkt \(P = (x_0, 3)\) należy do wykresu funkcji \(f\).

Oblicz \(x_0\) oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\). Zapisz obliczenia.

\(x_0=-3\) oraz \(y=-\frac{8}{11}x+\frac{9}{11}\)

Liczby rzeczywiste \(x\) oraz \(y\) spełniają jednocześnie równanie \(x + y = 4\) i nierówność \(x^3-x^2y\le xy^2-y^3\).

Wykaż, że \(x=2\) oraz \(y=2\).

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ABC| = 90^\circ\) oraz \(|\sphericalangle CAB| = 60^\circ\). Punkty \(K\) i \(L\) leżą na bokach - odpowiednio - \(AB\) i \(BC\) tak, że \(|BK| = |BL| = 1\) (zobacz rysunek). Odcinek \(KL\) przecina wysokość \(BD\) tego trójkąta w punkcie \(N\), a ponadto \(|AD| = 2\).

Wykaż, że \(|ND|=\sqrt{3}+1\).

Rozwiąż równanie \[4\sin(4x)\cos(6x)=2\sin(10x)+1\]

\(x=\frac{7}{12}\pi + k\pi\) lub \(x=\frac{11}{12}\pi + k\pi\)

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(6\). Punkt \(S\) jest punktem przecięcia przekątnych \(AH\) i \(DE\) ściany bocznej \(ADHE\) (zobacz rysunek).

Oblicz wysokość trójkąta \(SBH\) poprowadzoną z punktu \(S\) na bok \(BH\) tego trójkąta. Zapisz obliczenia.

\(h=\sqrt{6}\)

Czworokąt \(ABCD\), w którym \(|BC| = 4\) i \(|CD| = 5\), jest opisany na okręgu. Przekątna \(AC\) tego czworokąta tworzy z bokiem \(BC\) kąt o mierze \(60^\circ\), natomiast z bokiem \(AB\) - kąt ostry, którego sinus jest równy \(\frac{1}{4}\).

Oblicz obwód czworokąta \(ABCD\). Zapisz obliczenia.

\(16\sqrt{3}+10\)

Rozwiąż nierówność \[\sqrt{x^2+4x+4}\lt \frac{25}{3}-\sqrt{x^2-6x+9}\]

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: skorzystaj z tego, że \(\sqrt{a^2}=|a|\) dla każdej liczby rzeczywistej \(a\).

\(x\in \left(-3\frac{2}{3}, 4\frac{2}{3}\right)\)

Określamy kwadraty \(K_1, K_2, K3_,...\) następująco:

\(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\)
\(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1 ∶ 3\)
\(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1 ∶ 3\)

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 2\),

\(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_{n-1}\) i dzieli ten bok w stosunku \(1 ∶ 3\).

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

\(\frac{8a(4+\sqrt{10})}{3}\)

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\ne 2\), dla których równanie \[x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0\] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1, x_2\) spełniające warunek \(x_1^3+x_2^3\gt-28\). Zapisz obliczenia.

\(m\in \left(\frac{11}{5}, \frac{9}{4}\right)\)

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = 81^{\log_3x}+\frac{2\cdot \log_2\sqrt{27}\cdot \log_32}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \[81^{\log_3x}+\frac{2\cdot \log_2\sqrt{27}\cdot \log_32}{3}\cdot x^2-6x\] można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).

Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x) = x^4 + x^2 - 6x\).

\(f_{min}(1)=-4\)

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) prosta \(l\) o równaniu \(x - y - 2 = 0\) przecina parabolę o równaniu \(y = 4x^2 - 7x + 1\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu \(O\). Punkt \(C\) leży na okręgu \(O\) nad prostą \(l\), a kąt \(BAC\) jest ostry i ma miarę \(\alpha\) taką, że \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{3}\) (zobacz rysunek).

Oblicz współrzędne punktu \(C\). Zapisz obliczenia.

\(C=\left(\frac{11}{10}, -\frac{3}{10}\right)\)