Matura 2016 maj

Rozwiązania zadań ze starej formuły programowej umieściłem na tej stronie.

Szybka nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 .

Dla każdej dodatniej liczba \(a\) iloraz \(\frac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}}\) jest równy

A.\( a^{-3{,}9} \)

B.\( a^{-2} \)

C.\( a^{-1{,}3} \)

D.\( a^{1{,}3} \)

Liczba \(\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})\) jest równa

A.\( \frac{3}{2} \)

B.\( 2 \)

C.\( \frac{5}{2} \)

D.\( 3 \)

Liczby \(a\) i \(c\) są dodatnie. Liczba \(b\) stanowi \(48\%\) liczby \(a\) oraz \(32\%\) liczby \(c\). Wynika stąd, że

A.\( c=1{,}5a \)

B.\( c=1{,}6a \)

C.\( c=0{,}8a \)

D.\( c=0{,}16a \)

Równość \((2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla

A.\( a=3 \)

B.\( a=1 \)

C.\( a=-2 \)

D.\( a=-3 \)

Jedną z liczb, które spełniają nierówność \(-x^5+x^3-x\lt -2\), jest

A.\( 1 \)

B.\( -1 \)

C.\( 2 \)

D.\( -2 \)

Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że

A.\( P=(1,2) \)

B.\( P=(-1,2) \)

C.\( P=(-1,-2) \)

D.\( P=(1,-2) \)

Punkty \(ABCD\) leżą na okręgu o środku \(S\) (zobacz rysunek). Miara kąta \(BDC\) jest równa

A.\( 91^\circ \)

B.\( 72{,}5^\circ \)

C.\( 18^\circ \)

D.\( 32^\circ \)

Dana jest funkcja liniowa \(f(x)=\frac{3}{4}x+6\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

A.\( 8 \)

B.\( 6 \)

C.\( -6 \)

D.\( -8 \)

Równanie wymierne \(\frac{3x-1}{x+5}=3\), gdzie \(x\ne -5\),

A.nie ma rozwiązań rzeczywistych.

B.ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

C.ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

D.ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

A.\( (-\infty ;-2\rangle \)

B.\( \langle -2;4 \rangle \)

C.\( \langle 4;+\infty ) \)

D.\( (-\infty ;9\rangle \)

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -1;2 \rangle \) jest równa

A.\( 2 \)

B.\( 5 \)

C.\( 8 \)

D.\( 9 \)

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa

A.\( -\frac{\sqrt[3]{9}}{2} \)

B.\( -\frac{3}{5} \)

C.\( \frac{3}{5} \)

D.\( \frac{\sqrt[3]{3}}{2} \)

W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze \(31^\circ \) (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość \(10\).

Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału

A.\( \left\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2} \right\rangle \)

B.\( \left ( \frac{11}{2}; \frac{13}{2} \right\rangle \)

C.\( \left ( \frac{13}{2}; \frac{19}{2} \right\rangle \)

D.\( \left ( \frac{19}{2}; \frac{37}{2} \right\rangle \)

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(8\), a różnica tego ciągu jest równa \(\left (-\frac{3}{2}\right )\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

A.\( \frac{37}{2} \)

B.\( -\frac{37}{2} \)

C.\( -\frac{5}{2} \)

D.\( \frac{5}{2} \)

Ciąg \((x,2x+3,4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A.\( -4 \)

B.\( 1 \)

C.\( 0 \)

D.\( -1 \)

Przedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość

A.\( 8 \)

B.\( 8{,}5 \)

C.\( 9{,}5 \)

D.\( 10 \)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{2}{3}\). Wtedy

A.\( \sin \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{26} \)

B.\( \sin \alpha =\frac{\sqrt{13}}{13} \)

C.\( \sin \alpha =\frac{2\sqrt{13}}{13} \)

D.\( \sin \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{13} \)

Z odcinków o długościach: \(5, 2a+1, a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A.\( a=6 \)

B.\( a=4 \)

C.\( a=3 \)

D.\( a=2 \)

Okręgi o promieniach \(3\) i \(4\) są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu \(4\) w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu \(3\) (zobacz rysunek).

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe

A.\( 14 \)

B.\( 2\sqrt{33} \)

C.\( 4\sqrt{33} \)

D.\( 12 \)

Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy

A.\( m=2 \)

B.\( m=\frac{1}{2} \)

C.\( m=\frac{1}{3} \)

D.\( m=-2 \)

W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(a,6)\) oraz \(B=(7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M=(3,4)\). Wynika stąd, że

A.\( a=5 \) i \(b=5\)

B.\( a=-1 \) i \(b=2\)

C.\( a=4 \) i \(b=10\)

D.\( a=-4 \) i \(b=-2\)

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy

A.\( 0\le p\le 0{,}2 \)

B.\( 0{,}2\le p\le 0{,}35 \)

C.\( 0{,}35\lt p\le 0{,}5 \)

D.\( 0{,}5\lt p\le 1 \)

Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ \), a tworząca tego stożka ma długość \(4\). Objętość tego stożka jest równa

A.\( 36\pi \)

B.\( 18\pi \)

C.\( 24\pi \)

D.\( 8\pi \)

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt \(\alpha \) o mierze

A.\( 30^\circ \)

B.\( 45^\circ \)

C.\( 60^\circ \)

D.\( 75^\circ \)

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: \(31, 16, 25, 29, 27, x\), jest równa \(\frac{x}{2}\). Mediana tych liczb jest równa

A.\( 26 \)

B.\( 27 \)

C.\( 28 \)

D.\( 29 \)

W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.

kolejne lata	1	2	3	4	5	6
przyrost (w cm)	10	10	7	8	8	7

Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do \(1\) cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.

\(4\%\)

Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\gt 3x^2-6x\).

\(x\in (0;2)\)

Rozwiąż równanie \((4-x)(x^2+2x-15)=0\).

\(x=4\lor x=-5\lor x=3\)

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Na przyprostokątnych \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(G\). Na przeciwprostokątnej \(BC\) wyznaczono punkty \(E\) i \(F\) takie, że \(|\sphericalangle DEC|=|\sphericalangle BGF|=90^\circ \) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt \(CDE\) jest podobny do trójkąta \(FBG\).

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2+2n\) dla \(n\ge 1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem \(R=\log \frac{A}{A_0}\), gdzie \(A\) oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, \(A_0=10^{-4}\) cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile \(6{,}2\) w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od \(100\) cm.

\(A=10^{2{,}2} > 100\)

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50^\circ \). Oblicz kąty tego trójkąta.

\(26^\circ , 76^\circ ,78^\circ \)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Wysokość \(SO\) tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa \(27\). Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(ABCS\) oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

\(9\sqrt{30}\)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa \(30\). Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

\(\frac{1}{801}\)