Jesteś tu: StudiaSzeregi liczboweKryterium porównawcze

Kryterium porównawcze

Kryterium porównawcze jest bardzo naturalnym i często stosowanym sposobem badania zbieżności szeregów.
Jego ogólna idea polega na porównaniu szeregu, którego zbieżność badamy, z innym znanym szeregiem. Jeżeli np. ustalimy, że badany szereg jest mniejszy od innego szeregu zbieżnego, to również i on musi być zbieżny. Dokładne sformułowanie tego kryterium jest następujące:
Kryterium porównawcze Niech będą dane dwa szeregi dodatnie: \[\begin{split} &(A)\qquad \sum_{n=1}^{\infty }a_n\\[6pt] &(B)\qquad \sum_{n=1}^{\infty }b_n \end{split}\] Jeżeli dla prawie wszystkich \(n\) zachodzi \(a_n \le b_n\), to:
  • ze zbieżności szeregu \((B)\) wynika zbieżność szeregu \((A)\),
  • z rozbieżności szeregu \((A)\) wynika rozbieżność szeregu \((B)\).
W poniższych zadaniach podczas badania zbieżności szeregów wykorzystano właśnie kryterium porównawcze.
Zbadaj zbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\log n}{n} \)
Zbadaj zbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n!}{(2n)!} \)
Zbadaj zbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(n!)^2}{(2n)!} \)
Zbadaj zbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^5}{3^n} \)