Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych \(f(x,y)\) wyznaczamy wykonując następujące kroki:

• Liczymy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu: \[f'_{x}=?\\f'_{y}=?\]
• Przyrównujemy te pochodne do zera, tworząc układ równań: \[\begin{cases}f'_{x}=0\\f'_{y}=0\end{cases} \]
• Rozwiązujemy powyższy układ i otrzymujemy rozwiązania: \[\begin{cases}x_{1}=\ ...\\y_{1}=\ ...\end{cases}\qquad \text{lub}\qquad\begin{cases}x_{2}=\ ...\\y_{2}=\ ...\end{cases}\qquad \text{lub}\qquad\begin{cases}x_{3}=\ ...\\y_{3}=\ ...\end{cases}\qquad \text{lub}\qquad...\] Każde z powyższych rozwiązań jest punktem na płaszczyźnie \((x,y)\) w którym funkcja \(f(x,y)\) może mieć (ale nie musi!) ekstremum lokalne. Punkty te nazywamy punktami stacjonarnymi.
  Jeśli funkcja nie ma punktów stacjonarnych, to automatycznie nie ma ekstremów.
• Możemy wypisać wszystkie wyliczone punkty stacjonarne: \[P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2}),\ P_{3}=(x_{3},y_{3}),\ ...\] W kolejnych krokach sprawdzimy, w których z powyższych punktów, funkcja ma ekstrema.
• Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu: \[f''_{xx}=?\\f''_{xy}=?\\f''_{yy}=?\\f''_{yx}=?\] (Uwaga! Pochodne mieszane powinny wyjść takie same, tzn.: \(f''_{xy}=f''_{yx}\).)
• Z otrzymanych pochodnych tworzymy wyznacznik: \[W=\begin{vmatrix}f''_{xx} & f''_{xy}\\f''_{xy} & f''_{yy}\end{vmatrix} \] (Uwaga! Ten wyznacznik może być złożony z funkcji)
• Obliczamy powyższy wyznacznik kolejno dla wszystkich punktów stacjonarnych, czyli: \[W(P_{1}),\ W(P_{2}),\ W(P_{3}),\ ...\] Przykładowo: \[W(P_{1})=\begin{vmatrix}f''_{xx}(P_{1}) & f''_{xy}(P_{1})\\f''_{xy}(P_{1}) & f''_{yy}(P_{1})\end{vmatrix} =\ ...\] (Uwaga! Te wyznaczniki są złożone z liczb)
• Sprawdzamy dla każdego punktu stacjonarnego czy istnieje w nim ekstremum:
  • Jeżeli \(W(P_{1})>0\ \) to wtedy w punkcie \(P_{1}\) funkcja osiąga ekstremum.
  • Jeżeli \(W(P_{1})<0\ \) to wtedy w punkcie \(P_{1}\) funkcja nie osiąga ekstremum.
  • Jeżeli \(W(P_{1})=0\ \) to wtedy nie wiadomo czy w punkcie \(P_{1}\) funkcja osiąga ekstremum.
  Taką samą analizę przeprowadzamy również dla pozostałych punktów stacjonarnych.
• Dalej zajmujemy się już tylko punktami w których funkcja osiąga ekstremum.
  Załóżmy, że takim punktem jest np. punkt \(P_{1}\).
  Sprawdzamy dla takiego punktu czy jest w nim minimum, czy maksimum:
  • Jeżeli \(f''_{xx}(P_{1})>0\ \) to wtedy w punkcie \(P_{1}\) funkcja ma minimum.
  • Jeżeli \(f''_{xx}(P_{1})<0\ \) to wtedy w punkcie \(P_{1}\) funkcja ma maksimum.
  I obliczamy wartość jaką przyjmuje funkcja w tym punkcie, licząc: \[f(P_{1})=\ ...\]
• Na koniec możemy spróbować rozstrzygnąć czy funkcja ma ekstrema w punktach stacjonarnych, dla których wyzerował się wyznacznik.
  Załóżmy, że takim punktem jest np. punkt \(P_{2}=(x_{2},y_{2})\).
  Analizujemy pod kątem ekstremów funkcje jednej zmiennej: \[f(x,y_{2})=\ ...\quad \longleftarrow \text{funkcja względem niewiadomej } x\] oraz \[f(x_{2},y)=\ ...\quad \longleftarrow \text{funkcja względem niewiadomej } y\] Policzyliśmy już wcześniej pierwsze i drugie pochodne tych funkcji. Możemy stąd wyciągnąć pewne wnioski. Przykładowo:
  • Jeżeli \(f'_{x}=0 \land f''_{xx}<0\) to funkcja \(f(x,y_{2})\) ma w punkcie \(x=x_{2}\) lokalne maksimum.
  • Jeżeli \(f'_{x}=0 \land f''_{xx}>0\) to funkcja \(f(x,y_{2})\) ma w punkcie \(x=x_{2}\) lokalne minimum.
  • Jeżeli \(f'_{x}=0 \land f''_{xx}=0\) to nie wiemy czy funkcja \(f(x,y_{2})\) ma w punkcie \(x=x_{2}\) ekstremum lokalne.
    W takiej sytuacji musimy sprawdzić czy pochodna \(f'_{x}(x,y_{2})\) zmienia znak w punkcie \(x=x_{2}\) (np. rysując wykres tej pochodnej).
    Jeżeli pochodna zmienia się z ujemnej na dodatnią, to mamy minimum, a jeśli z dodatniej na ujemną, to mamy maksimum. Jeżeli pochodna nie zmienia znaku, to nie mamy ekstremum.
  Gdy już wiemy czy funkcje jednej zmiennej przyjmują w punkcie \(P_{2}\) ekstrema lokalne (i wiemy jakie to są ekstrema), to możemy rozstrzygnąć kwestię ekstremów funkcji dwóch zmiennych:
  • Jeżeli obie funkcje jednej zmiennej mają w punkcje \(P_2\) ekstremum minimum, to wówczas funkcja \(f(x,y)\) może mieć w punkcie \(P_{2}\) ekstremum minimum, ale również może w ogóle nie mieć ekstremum (w takim przypadku wiemy jedynie, że funkcja nie ma w punkcje \(P_2\) ekstremum maksimum).
  • Jeżeli obie funkcje jednej zmiennej mają w punkcje \(P_{2}\) ekstremum maksimum, to wówczas funkcja \(f(x,y)\) może mieć w punkcie \(P_{2}\) ekstremum maksimum, ale również może w ogóle nie mieć ekstremum (w takim przypadku wiemy jedynie, że funkcja nie ma w punkcje \(P_2\) ekstremum minimum).
  • W każdym innym przypadku funkcja \(f(x,y)\) nie ma ekstremum w punkcie \(P_{2}\).