Jesteś tutaj: SzkołaFunkcjeFunkcje - definicje i własnościDziedzina funkcji
◀ Wykres funkcji

Dziedzina funkcji

Zacznijmy od przypomnienia takich pojęć jak argument funkcji oraz wartość funkcji.
  • argumenty funkcji to \(x\)-y (z osi poziomej układu współrzędnych)
  • wartości funkcji to \(y\)-ki (z osi pionowej układu współrzędnych)
Definicja
Dziedzina funkcji - to zbiór wszystkich argumentów funkcji.
Równoważne definicje:
Dziedzina - to zbiór tych \(x\)-ów dla których określona jest funkcja.
Dziedzina - to zbiór tych \(x\)-ów dla których istnieje wykres funkcji.
Dziedziną funkcji \(f(x) = \frac{1}{2}x - 1\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, ponieważ pod \(x\)-a możemy podstawić dowolną liczbę rzeczywistą i obliczyć dla niej wartość funkcji. Przykładowo: \[ f(4)=\frac{1}{2}\cdot 4-1=2-1=1\\[6pt] f(\sqrt{3})=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}-1=\frac{\sqrt{3}}{2}-1 \] Możemy też zauważyć, że podana funkcja jest funkcją liniową i jej wykres istnieje dla każdego argumentu \(x\). Dziedzina: \(x\in \mathbb{R} \).
Dziedziną każdej funkcji liniowej, kwadratowej i wielomianowej jest zbiór liczb rzeczywistych.
Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{1}{x}\).
Do wzoru tej funkcji nie można podstawić pod \(x\)-a liczby \(0\), ponieważ nie wolno dzielić przez zero.
Wartość funkcji dla \(x=0\) nie istnieje, co ilustruje poniższa tabelka.
\(x\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)
\(f(x)=\frac{1}{x}\) \(-\frac{1}{2}\) \(-1\) nie istnieje \(1\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{3}\)
Zatem dla \(x = 0\) nie istnieje wykres funkcji: Dziedzina: \(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\).
Poniżej podaję dwa inne sposoby na zapisanie tej samej dziedziny.
Dziedzina: \(x\ne 0\).
Dziedzina: \(x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )\).
Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x) =\sqrt{x}\).
Do wzoru funkcji \(f(x) =\sqrt{x}\) nie możemy podstawić pod \(x\)-a liczby ujemnej, ponieważ nie istnieją pierwiastki z liczb ujemnych. Ta funkcja jest określona tylko dla liczb dodatnich oraz zera.
\(x\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)
\(f(x)=\sqrt{x}\) nie istnieje nie istnieje nie istnieje \(0\) \(1\) \(\sqrt{2}\) \(\sqrt{3}\)
Wykres tej funkcji istnieje tylko dla \(x\)-ów nieujemnych: Dziedzina: \(x\in \langle 0; +\infty )\).
Poniżej podaję inny sposób zapisania tej samej dziedziny.
Dziedzina: \(x\ge 0\).
Dziedzinę funkcji określamy zawsze gdy istnieje zagrożenie, że podstawiając do wzoru jakąś wartość liczbową, otrzymamy działanie niedozwolone w matematyce.
Działania niedozwolone w matematyce to:
  • dzielenie przez \(0\),
  • wyciąganie pierwiastka (parzystego stopnia) z liczby ujemnej,
  • obliczanie logarytmu z liczby ujemnej,
  • umieszczanie w podstawie logarytmu liczby ujemnej lub równej \(1\).
Wśród powyższych "zagrożeń" najważniejsze są dwa pierwsze. To z nimi spotykamy się najczęściej.
W tym nagraniu wideo omawiam pojęcie dziedziny funkcji.
Dziedziną funkcji \( f \) jest przedział
\(\langle 0,3 \rangle \)
\((0, 8 \rangle \)
\(\langle -3,3 \rangle \)
\((-3, 8 \rangle \)
D
Dziedziną funkcji \(f(x)=\begin{cases} -2x+1,\quad \text{gdy } x\lt 1\\ -x,\quad \text{gdy } 1\le x\le 4 \end{cases} \) jest zbiór
\( (-\infty ,4\rangle \)
\( \langle 1,4 \rangle \)
\( \langle 0,4 \rangle \)
\( (-\infty ,1) \)
A
Dziedziną funkcji \(f(x)=\frac{x+3}{x^3+4x}\) jest zbiór:
\( \mathbb{R} \backslash \{ -4,0 \} \)
\( \mathbb{R} \backslash \{ 0 \} \)
\( \mathbb{R} \)
\( \mathbb{R} \backslash \{ -2,0,2 \} \)
B
Dziedziną funkcji \(f(x)=\frac{x^2-16}{(x-2)(x+4)}\) jest zbiór:
\( \mathbb{R} \backslash \{ -2,4 \} \)
\( \mathbb{R} \backslash \{ 2,-4 \} \)
\( \mathbb{R} \backslash \{ -4,4 \} \)
\( \mathbb{R} \backslash \{ 2 \} \)
B
Dziedziną wyrażenia wymiernego \(\frac{36-x^2}{(6-x)(x^3-1)}\) jest zbiór
\( \mathbb{R} \backslash \{1,6 \} \)
\( \mathbb{R} \backslash \{-6,-1,6 \} \)
\( \mathbb{R} \backslash \{-6,6 \} \)
\( \mathbb{R} \backslash \{-6,1,6 \} \)
A
Dziedziną funkcji \(f\), określonej wzorem \(f(x)=\frac{x-5}{x^2+4}\), jest zbiór:
\( \mathbb{R} \backslash \{ -4,4 \} \)
\( \mathbb{R} \backslash \{ -4 \} \)
\( \mathbb{R} \)
\( \mathbb{R} \backslash \{ 5 \} \)
C
Liczba \(3\) nie należy do dziedziny wyrażenia:
\( \frac{x-3}{|x+3|} \)
\( \frac{2x-1}{|x-3|} \)
\( \frac{2x-1}{|x|+3} \)
\( \frac{x-3}{|2x-1|} \)
B
Ile, co najwyżej, liczb naturalnych należy do dziedziny funkcji określonej wzorem \(f(x)=\sqrt{1-x}\)?
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
Nieskończenie wiele
C
Dziedziną funkcji \(f(x)=\frac{x-2}{x^2-4}\) jest zbiór
\( \mathbb{R} \backslash \{ 2 \} \)
\( (-\infty ,2) \)
\( \mathbb{R} \backslash \{-2, 2 \} \)
\( (2,0) \)
C
Zbiór \(\mathbb{R} \backslash \{-3, 0, 2\}\) jest dziedziną wyrażenia
\( \frac{x^2+3x+1}{x^2+x-6} \)
\( \frac{x^2-x-2}{x^3+5x^2+6x} \)
\( \frac{3x+2}{x(x-2)(x-3)} \)
\( \frac{2x+2}{x(x-2)(x+3)} \)
D
Które liczby ze zbioru \(\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}\) nie należą do dziedziny poniższego wyrażenia wymiernego: \[\frac{x^2+x-5}{x^3-9x}\]
\( 0,9 \)
\( -2,-1,1,2 \)
\( -3,-1,1,3 \)
\( -3,0,3 \)
D
Dziedziną wyrażenia \(\frac{2-x}{(x+3)(x^2+4x+4)}\) jest zbiór:
\( \mathbb{R} \backslash \{ 2,3,-3 \} \)
\( \mathbb{R} \backslash \{ -3,2 \} \)
\( \mathbb{R} \backslash \{ -3,-2 \} \)
\( \mathbb{R} \backslash \{ -3,-2,3 \} \)
C
Wiadomo, że dziedziną funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\frac{x-7}{2x+a}\) jest zbiór \((-\infty ,2)\cup (2,+\infty )\). Wówczas
\( a=2 \)
\( a=-2 \)
\( a=4 \)
\( a=-4 \)
D
Wyznacz dziedzinę następujących funkcji:
a) \(f(x)=\frac{5}{x}\)
b) \(f(x)=x+\frac{2}{x+3}\)
c) \(f(x)=3x-\frac{x+1}{5x-2}+17\)

a) \(x\ne 0\)
b) \(x\ne -3\)
c) \(x\ne \frac{2}{5}\)
Wyznacz dziedzinę następujących funkcji:
a) \(f(x)=\frac{1}{3x+6}+\frac{2x}{x+1}\)
b) \(f(x)=4x-\frac{x}{x-1}+\frac{3x-2}{x}\)
c) \(f(x)=\frac{1}{x}+\frac{3}{2x}-\frac{5-2x}{x-3}-\frac{x}{2x+4}\)

a) \(x\ne -2\land x\ne -1\)
b) \(x\ne 1 \land x\ne 0\)
c) \(x\ne 0\land x\ne 3\land x\ne -2\)
Wyznacz dziedzinę następujących funkcji:
a) \(f(x)=\frac{1}{x(x-3)}\)
b) \(f(x)=\frac{2x+1}{3x(x-2)}-\frac{|x|}{(x-\sqrt{5})(x+3)}\)

a) \(x\ne 0\land x\ne 3\)
b) \(x\ne 0\land x\ne 2\land x\ne \sqrt{5}\land x\ne -3\)
Wyznacz dziedzinę następujących funkcji:
a) \(f(x)=\sqrt{x+3}\)
b) \(f(x)=\sqrt{2x-8}\)
c) \(f(x)=\sqrt{3x^2+1}\)

a) \(x\ge -3\)
b) \(x\ge 4\)
c) \(x\in \mathbb{R} \)
Wyznacz dziedzinę następujących funkcji:
a) \(f(x)=\sqrt{x-2}+\sqrt{x+7}\)
b) \(f(x)=x-\sqrt{x-1}+\sqrt{7-x}\)

a) \(x\ge 2\)
b) \(x\in \langle 1;7 \rangle \)
Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x)=x+\frac{1-\sqrt{x+1}}{3\sqrt{1-2x}}\).
\(x\in \left\langle -1;\frac{1}{2}\right ) \)
Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{\sqrt{3-|x+2|}}{x(x+3)}\).
\(x\in \langle -5;-3)\cup (-3;0)\cup (0;1\rangle \)
Dziedziną funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\frac{x+4}{x^2-4x}\) może być zbiór
wszystkich liczb rzeczywistych różnych od \( 0 \) i \(4\).
wszystkich liczb rzeczywistych różnych od \( -4 \) i \(4\).
wszystkich liczb rzeczywistych różnych od \( -4 \) i \(0\).
wszystkich liczb rzeczywistych.
A
Sąsiednie tematy