Dziedzina funkcji

Zacznijmy od przypomnienia takich pojęć jak argument funkcji oraz wartość funkcji.

argumenty funkcji to \(x\)-y (z osi poziomej układu współrzędnych)
wartości funkcji to \(y\)-ki (z osi pionowej układu współrzędnych)

Definicja

Dziedzina funkcji - to zbiór wszystkich argumentów funkcji.

Równoważne definicje:
Dziedzina - to zbiór tych \(x\)-ów dla których określona jest funkcja.
Dziedzina - to zbiór tych \(x\)-ów dla których istnieje wykres funkcji.

Dziedziną funkcji \(f(x) = \frac{1}{2}x - 1\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, ponieważ pod \(x\)-a możemy podstawić dowolną liczbę rzeczywistą i obliczyć dla niej wartość funkcji. Przykładowo: \[ f(4)=\frac{1}{2}\cdot 4-1=2-1=1\\[6pt] f(\sqrt{3})=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}-1=\frac{\sqrt{3}}{2}-1 \] Możemy też zauważyć, że podana funkcja jest funkcją liniową i jej wykres istnieje dla każdego argumentu \(x\).

Dziedzina: \(x\in \mathbb{R} \).

Dziedziną każdej funkcji liniowej, kwadratowej i wielomianowej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{1}{x}\).

Do wzoru tej funkcji nie można podstawić pod \(x\)-a liczby \(0\), ponieważ nie wolno dzielić przez zero.

Wartość funkcji dla \(x=0\) nie istnieje, co ilustruje poniższa tabelka.

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)=\frac{1}{x}\)	\(-\frac{1}{2}\)	\(-1\)	nie istnieje	\(1\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{3}\)

Zatem dla \(x = 0\) nie istnieje wykres funkcji:

Dziedzina: \(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\).
Poniżej podaję dwa inne sposoby na zapisanie tej samej dziedziny.
Dziedzina: \(x\ne 0\).
Dziedzina: \(x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )\).

Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x) =\sqrt{x}\).

Do wzoru funkcji \(f(x) =\sqrt{x}\) nie możemy podstawić pod \(x\)-a liczby ujemnej, ponieważ nie istnieją pierwiastki z liczb ujemnych. Ta funkcja jest określona tylko dla liczb dodatnich oraz zera.

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)=\sqrt{x}\)	nie istnieje	nie istnieje	nie istnieje	\(0\)	\(1\)	\(\sqrt{2}\)	\(\sqrt{3}\)

Wykres tej funkcji istnieje tylko dla \(x\)-ów nieujemnych:

Dziedzina: \(x\in \langle 0; +\infty )\).
Poniżej podaję inny sposób zapisania tej samej dziedziny.
Dziedzina: \(x\ge 0\).

Dziedzinę funkcji określamy zawsze gdy istnieje zagrożenie, że podstawiając do wzoru jakąś wartość liczbową, otrzymamy działanie niedozwolone w matematyce.

Działania niedozwolone w matematyce to:

dzielenie przez \(0\),
wyciąganie pierwiastka (parzystego stopnia) z liczby ujemnej,
obliczanie logarytmu z liczby ujemnej,
umieszczanie w podstawie logarytmu liczby ujemnej lub równej \(1\).

Wśród powyższych "zagrożeń" najważniejsze są dwa pierwsze. To z nimi spotykamy się najczęściej.

W tym nagraniu wideo omawiam pojęcie dziedziny funkcji.

Dziedziną funkcji \( f \) jest przedział

A.\(\langle 0,3 \rangle \)

B.\((0, 8 \rangle \)

C.\(\langle -3,3 \rangle \)

D.\((-3, 8 \rangle \)

Dziedziną funkcji \(f(x)=\begin{cases} -2x+1,\quad \text{gdy } x\lt 1\\ -x,\quad \text{gdy } 1\le x\le 4 \end{cases} \) jest zbiór

A.\( (-\infty ,4\rangle \)

B.\( \langle 1,4 \rangle \)

C.\( \langle 0,4 \rangle \)

D.\( (-\infty ,1) \)

Dziedziną funkcji \(f(x)=\frac{x+3}{x^3+4x}\) jest zbiór:

A.\( \mathbb{R} \backslash \{ -4,0 \} \)

B.\( \mathbb{R} \backslash \{ 0 \} \)

C.\( \mathbb{R} \)

D.\( \mathbb{R} \backslash \{ -2,0,2 \} \)

Dziedziną funkcji \(f(x)=\frac{x^2-16}{(x-2)(x+4)}\) jest zbiór:

A.\( \mathbb{R} \backslash \{ -2,4 \} \)

B.\( \mathbb{R} \backslash \{ 2,-4 \} \)

C.\( \mathbb{R} \backslash \{ -4,4 \} \)

D.\( \mathbb{R} \backslash \{ 2 \} \)

Dziedziną wyrażenia wymiernego \(\frac{36-x^2}{(6-x)(x^3-1)}\) jest zbiór

A.\( \mathbb{R} \backslash \{1,6 \} \)

B.\( \mathbb{R} \backslash \{-6,-1,6 \} \)

C.\( \mathbb{R} \backslash \{-6,6 \} \)

D.\( \mathbb{R} \backslash \{-6,1,6 \} \)

Dziedziną funkcji \(f\), określonej wzorem \(f(x)=\frac{x-5}{x^2+4}\), jest zbiór:

A.\( \mathbb{R} \backslash \{ -4,4 \} \)

B.\( \mathbb{R} \backslash \{ -4 \} \)

C.\( \mathbb{R} \)

D.\( \mathbb{R} \backslash \{ 5 \} \)

Liczba \(3\) nie należy do dziedziny wyrażenia:

A.\( \frac{x-3}{|x+3|} \)

B.\( \frac{2x-1}{|x-3|} \)

C.\( \frac{2x-1}{|x|+3} \)

D.\( \frac{x-3}{|2x-1|} \)

Ile, co najwyżej, liczb naturalnych należy do dziedziny funkcji określonej wzorem \(f(x)=\sqrt{1-x}\)?

A.\( 0 \)

B.\( 1 \)

C.\( 2 \)

D.Nieskończenie wiele

Dziedziną funkcji \(f(x)=\frac{x-2}{x^2-4}\) jest zbiór

A.\( \mathbb{R} \backslash \{ 2 \} \)

B.\( (-\infty ,2) \)

C.\( \mathbb{R} \backslash \{-2, 2 \} \)

D.\( (2,0) \)

Zbiór \(\mathbb{R} \backslash \{-3, 0, 2\}\) jest dziedziną wyrażenia

A.\( \frac{x^2+3x+1}{x^2+x-6} \)

B.\( \frac{x^2-x-2}{x^3+5x^2+6x} \)

C.\( \frac{3x+2}{x(x-2)(x-3)} \)

D.\( \frac{2x+2}{x(x-2)(x+3)} \)

Które liczby ze zbioru \(\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}\) nie należą do dziedziny poniższego wyrażenia wymiernego: \[\frac{x^2+x-5}{x^3-9x}\]

A.\( 0,9 \)

B.\( -2,-1,1,2 \)

C.\( -3,-1,1,3 \)

D.\( -3,0,3 \)

Dziedziną wyrażenia \(\frac{2-x}{(x+3)(x^2+4x+4)}\) jest zbiór:

A.\( \mathbb{R} \backslash \{ 2,3,-3 \} \)

B.\( \mathbb{R} \backslash \{ -3,2 \} \)

C.\( \mathbb{R} \backslash \{ -3,-2 \} \)

D.\( \mathbb{R} \backslash \{ -3,-2,3 \} \)

Wiadomo, że dziedziną funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\frac{x-7}{2x+a}\) jest zbiór \((-\infty ,2)\cup (2,+\infty )\). Wówczas

A.\( a=2 \)

B.\( a=-2 \)

C.\( a=4 \)

D.\( a=-4 \)