Zacznijmy od przypomnienia takich pojęć jak argument funkcji oraz wartość funkcji.
- argumenty funkcji to \(x\)-y (z osi poziomej układu współrzędnych)
- wartości funkcji to \(y\)-ki (z osi pionowej układu współrzędnych)
Definicja
Dziedzina funkcji - to zbiór wszystkich argumentów funkcji.
Równoważne definicje:
Dziedzina - to zbiór tych \(x\)-ów dla których określona jest funkcja.
Dziedzina - to zbiór tych \(x\)-ów dla których istnieje wykres funkcji.
Dziedziną funkcji \(f(x) = \frac{1}{2}x - 1\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, ponieważ pod \(x\)-a możemy podstawić dowolną liczbę rzeczywistą i obliczyć dla niej wartość funkcji. Przykładowo: \[ f(4)=\frac{1}{2}\cdot 4-1=2-1=1\\[6pt] f(\sqrt{3})=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}-1=\frac{\sqrt{3}}{2}-1 \] Możemy też zauważyć, że podana funkcja jest funkcją liniową i jej wykres istnieje dla każdego argumentu \(x\).

Dziedzina: \(x\in \mathbb{R} \).
Dziedziną każdej funkcji liniowej, kwadratowej i wielomianowej jest zbiór liczb rzeczywistych.
Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{1}{x}\).
Do wzoru tej funkcji nie można podstawić pod \(x\)-a liczby \(0\), ponieważ nie wolno dzielić przez zero.
Wartość funkcji dla \(x=0\) nie istnieje, co ilustruje poniższa tabelka.
\(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
\(f(x)=\frac{1}{x}\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(-1\) | nie istnieje | \(1\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{3}\) |
Zatem dla \(x = 0\) nie istnieje wykres funkcji:

Dziedzina: \(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\).
Poniżej podaję dwa inne sposoby na zapisanie tej samej dziedziny.
Dziedzina: \(x\ne 0\).
Dziedzina: \(x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )\).
Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x) =\sqrt{x}\).
Do wzoru funkcji \(f(x) =\sqrt{x}\) nie możemy podstawić pod \(x\)-a liczby ujemnej, ponieważ nie istnieją pierwiastki z liczb ujemnych. Ta funkcja jest określona tylko dla liczb dodatnich oraz zera.
\(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
\(f(x)=\sqrt{x}\) | nie istnieje | nie istnieje | nie istnieje | \(0\) | \(1\) | \(\sqrt{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
Wykres tej funkcji istnieje tylko dla \(x\)-ów nieujemnych:

Dziedzina: \(x\in \langle 0; +\infty )\).
Poniżej podaję inny sposób zapisania tej samej dziedziny.
Dziedzina: \(x\ge 0\).
Dziedzinę funkcji określamy zawsze gdy istnieje zagrożenie, że podstawiając do wzoru jakąś wartość liczbową, otrzymamy działanie niedozwolone w matematyce.
Działania
niedozwolone w matematyce to:
- dzielenie przez \(0\),
- wyciąganie pierwiastka (parzystego stopnia) z liczby ujemnej,
- obliczanie logarytmu z liczby ujemnej,
- umieszczanie w podstawie logarytmu liczby ujemnej lub równej \(1\).
Wśród powyższych "zagrożeń" najważniejsze są dwa pierwsze. To z nimi spotykamy się najczęściej.
W tym nagraniu wideo omawiam pojęcie dziedziny funkcji.
Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x)=x+\frac{1-\sqrt{x+1}}{3\sqrt{1-2x}}\).
\(x\in \left\langle -1;\frac{1}{2}\right ) \)
Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{\sqrt{3-|x+2|}}{x(x+3)}\).
\(x\in \langle -5;-3)\cup (-3;0)\cup (0;1\rangle \)