Badanie przebiegu zmienności funkcji

W szkole średniej podczas badania przebiegu zmienności funkcji należy wyznaczyć:
  • Dziedzinę.
  • Miejsca zerowe.
  • Punkt przecięcia z osią Oy.
  • Granice na krańcach dziedziny.
  • Asymptoty.
  • Przedziały monotoniczności.
  • Ekstrema lokalne.
Na końcu rysujemy wykres funkcji i odczytujemy z niego zbiór wartości funkcji.
Zbadaj przebieg zmienności funkcji: \[f(x)=\frac{1}{x^{2}-2}+1\]
  • Wyznaczamy dziedzinę funkcji.
    Sprawdzamy kiedy zeruje się mianownik: \[\begin{split} x^{2}-2&=0\\x^{2}&=2\\x=\sqrt{2}\quad &\lor \quad x=-\sqrt{2} \end{split}\] Zatem dziedzina funkcji to: \[\mathbb{R}\backslash\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\}\]
  • Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji.
    Przyrównujemy wzór funkcji do zera i rozwiązujemy takie równanie: \[\begin{split} \quad\quad\quad \quad \quad \frac{1}{x^{2}-2}+1&=0\\\frac{1}{x^{2}-2}&=-1\quad\quad \quad \quad / \cdot (x^{2}-2)\\1&=-(x^{2}-2)\\1&=-x^{2}+2\\x^{2}&=1\\x=1\quad &\lor\quad x=-1 \end{split}\] Zatem miejscami zerowymi funkcji są: \( x=-1 \) oraz \( x=1 \).
  • Wyznaczamy punkt przecięcia z osią \(Oy\)
    W tym celu liczymy wartość funkcji zerze: \[f(0)= \frac{1}{0^{2}-2}+1=\frac{1}{-2}+1=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}\] Zatem punkt przecięcia funkcji z osią \(Oy\), to: \(\left (0,\frac{1}{2}\right )\).
  • Wyznaczamy granice na krańcach dziedziny.
    Tutaj zawsze należy wyznaczyć granice funkcji w \( +\infty \) oraz \( -\infty \).
    W tym przypadku będziemy musieli dodatkowo policzyć granice funkcji dla \( x \)-ów, które wypadły z dziedziny (bo tam funkcja jest nieciągła), czyli dla \( x=\sqrt{2} \) oraz \( x=-\sqrt{2} \).
    Zaczynamy od przypadków w nieskończonościach:
    \[\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}\bigg(\frac{1}{x^{2}-2}+1\bigg)=\bigg[\frac{1}{+\infty }+1\bigg]=[0+1]=1\] \[\lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}\bigg(\frac{1}{x^{2}-2}+1\bigg)=\bigg[\frac{1}{+\infty }+1\bigg]=[0+1]=1\] Uwaga! Wyliczone granice w \( +\infty \) oraz \( -\infty \) od razu dają nam asymptotę poziomą, która w tym przypadku jest prostą o równaniu \( y=1 \). Będzie o tym jeszcze mowa w kolejnym punkcie.
    Teraz obliczymy granice w punktach nieciągłości: Liczymy granicę lewostronną dla \( x=\sqrt{2} \): \[\begin{split} \lim_{x \to \sqrt{2}^{-}}f(x)&=\lim_{x \to \sqrt{2}^{-}}\left(\frac{1}{x^{2}-2}+1\right)=\left[\frac{1}{(\sqrt{2}^{-})^{2}-2}+1\right]= \left [\frac{1}{2^{-}-2}+1 \right ]=\\&=\left [ \frac{1}{{0}^{-}}+1 \right ]=\left [ -\infty +1 \right ]=-\infty \end{split}\] Wyjaśnienie oznaczeń:
    \(\begin{split} {\left ( {\sqrt{2}}^{-} \right )}^{2} \end{split}\) - to liczba trochę mniejsza od \( \sqrt{2} \) podniesiona do kwadratu (np. \( {1,41}^{2} \)).
    \( {2}^{-} \) - liczba trochę mniejsza od \( 2 \) (np. \( 1,99 \)).
    \( {0}^{-} \) - liczba trochę mniejsza od \( 0 \) (np. \( -0,01 \)).
    Teraz podobnie liczymy granicę prawostronną dla \( x=\sqrt{2} \):
    \[\begin{split} \lim_{x \to \sqrt{2}^{+}}f(x)&=\lim_{x \to \sqrt{2}^{+}}\left(\frac{1}{x^{2}-2}+1\right)=\left[\frac{1}{(\sqrt{2}^{+})^{2}-2}+1\right]= \left [\frac{1}{2^{+}-2}+1 \right ]=\\&=\left [ \frac{1}{{0}^{+}}+1 \right ]=\left [ +\infty +1 \right ]=+\infty \end{split}\] Zatem dla \(\begin{split} x=\sqrt{2 } \end{split}\) granice obustronne istnieją, ale są różne, więc granica dla \(\begin{split} x =\sqrt{2 } \end{split}\) nie istnieje. Zapiszemy to tak: \[\lim_{x \to \sqrt{2}^{-}}f(x)=-\infty \\\lim_{x \to \sqrt{2}^{+}}f(x)=+\infty \] Zatem: \[\lim_{x \to \sqrt{2}}f(x)=\text{nie istnieje}\] Teraz musimy wykonać podobne rachunki dla drugiego punktu nieciągłości. Liczymy zatem granicę lewostronną dla \(\begin{split} x=-\sqrt{2} \end{split}\): \[\begin{split} \lim_{x \to -\sqrt{2}^{-}}f(x)&=\lim_{x \to -\sqrt{2}^{-}}\left(\frac{1}{x^{2}-2}+1\right)=\left[\frac{1}{\left ( -{\sqrt{2}}^{-} \right )^2-2}+1\right]=\\&= \left [\frac{1}{2^{+}-2}+1 \right ]=\left [ \frac{1}{{0}^{+}}+1 \right ]=\left [ +\infty +1 \right ]=+\infty \end{split}\] Uwaga! Zauważ, że liczba \(\begin{split} \left ( -{\sqrt{2}}^{-} \right )^2 \end{split}\) jest trochę większa od \( 2 \), bo to jest np.: \( \left ( -1,41 \right )^2=2,0164 \)

    Teraz podobnie liczymy granicę prawostronną dla \(\begin{split} x=-\sqrt{2} \end{split}\): \[\begin{split} \lim_{x \to -\sqrt{2}^{+}}f(x)&=\lim_{x \to -\sqrt{2}^{+}}\left(\frac{1}{x^{2}-2}+1\right)=\left[\frac{1}{\left ( -{\sqrt{2}}^{+} \right )^2-2}+1\right]= \left [\frac{1}{2^{-}-2}+1 \right ]=\\&=\left [ \frac{1}{{0}^{-}}+1 \right ]=\left [ -\infty +1 \right ]=-\infty \end{split}\] Zatem dla \( x=-\sqrt{2} \) granice obustronne istnieją, ale są różne, więc granica dla \( x=-\sqrt{2} \) nie istnieje. Zapiszemy to tak: \[\lim_{x \to -\sqrt{2}^{-}}f(x)=+\infty \\\lim_{x \to -\sqrt{2}^{+}}f(x)=-\infty \] Zatem: \[\lim_{x \to -\sqrt{2}}f(x)= \text{nie istnieje}\]
  • Wyznaczamy asymptoty.
    Asymptoty pionowe już wyznaczyliśmy przy wyznaczaniu dziedziny - są nimi proste pionowe, przechodzące przez punkty nieciągłości funkcji.
    Zatem asymptoty pionowe, to proste opisane równaniami: \[x=-\sqrt{2}\] oraz \[x=\sqrt{2}\] Asymptoty poziome istnieją, jeżeli granice w \( +\infty \) oraz \( -\infty \)istnieją i są skończone.
    Już wyliczyliśmy, że: \[\lim_{x \to +\infty}f(x)=1\\\lim_{x \to -\infty}f(x)=1\] Zatem asymptota pozioma istnieje i jej równanie, to: \[y=1\] Asymptoty ukośne nie istnieją, bo istnieją asymptoty poziome. Normalnie asymptotę ukośną prawostronną wyznaczamy obliczając granice: \[\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=a\] oraz \[\lim_{x \to +\infty}\left ( f(x)-ax \right )=b\] Jeśli obie te granice istnieją i są skończone (czyli 2 i 3 są liczbami rzeczywistymi skończonymi), to asymptota prawostronna jest opisana równaniem: \[y=ax+b\] Tak samo obliczamy asymptotę ukośną lewostronną, tylko że liczymy granice w \( -\infty \).
  • Wyznaczamy przedziały monotoniczności.
    Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności (oraz ekstrema), to musimy obliczyć pochodną funkcji. Zatem liczymy: \[f'(x)=\left ( \frac{1}{x^2 -2}+1 \right )'=\frac{0 \cdot \left ( x^2 -2 \right )-1 \cdot 2 x }{{\left ( x^2 -2 \right )}^{2 }}=\frac{-2 x }{{\left ( x^2 -2 \right )}^{2 }}\] Funkcja \( f(x) \) jest rosnąca jeśli \( f'(x)>0 \).
    Funkcja \( f(x) \) jest malejąca jeśli \( f'(x)\lt 0 \).
    Na początku wyznaczymy przedziały w których funkcja jest rosnąca, czyli rozwiążemy nierówność: \[\begin{split} f'(x)&>0\\\frac{-2x}{{\left ( x^2 -2 \right )}^{2}}&>0 \end{split}\] Mnożymy nierówność stronami przez wyrażenie dodatnie \( {\left ( x^2 -2 \right )}^{2} \) i otrzymujemy: \[\begin{split} -2x&>0\\x&\lt 0 \end{split}\] Zatem funkcja \( f(x) \) jest rosnąca dla \( x\in \left ( -\infty ;0 \right ) \).
    Teraz wyznaczymy przedziały w których funkcja jest malejąca, czyli rozwiążemy nierówność: \[\begin{split} f'(x)&\lt 0\\\frac{-2x}{{\left ( x^2 -2 \right )}^{2}}&\lt 0\\-2x&\lt 0\\x&>0 \end{split}\] Zatem funkcja \( f(x) \) jest malejąca dla \( x\in \left ( 0;+\infty \right ) \).
  • Wyznaczamy ekstrema.
    Funkcja może mieć ekstremum tylko w tych miejscach gdzie jej pochodna się zeruje. Dodatkowo aby ekstremum istniało, to funkcja musi w danym punkcie zmienić monotoniczność. Mogą być dwie sytuacje:
    • Jeśli funkcja była rosnąca i w pewnym momencie zaczyna maleć, to mamy ekstremum maksimum (wykres lokalnie przypomina górkę)
    • Jeśli funkcja była malejąca i w pewnym momencie zaczyna rosnąć, to mamy ekstremum minimum (wykres lokalnie przypomina dolinę)
    Zaczynamy od znalezienia tych \( x \)-ów dla których \( f'(x)=0 \). Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} f'(x)&=0\\\frac{-2}{{\left ( x^2 -2 \right )}^{2}}&=0\\-2x&=0\\x&=0 \end{split}\] Zatem podejrzewamy, że dla \( x=0 \) istnieje ekstremum. Musimy jeszcze stwierdzić, czy funkcja zmienia w tym punkcie monotoniczność.
    W poprzednim punkcie ustaliliśmy, że:
    • dla \( x\in (-\infty ;0) \) funkcja \( f(x) \) jest rosnąca,
    • dla \( x\in (0;+\infty ) \) funkcja \( f(x) \) jest malejąca
    Zatem dla \( x=0 \) funkcja zmienia się z rosnącej na malejącą, czyli mamy ekstremum maksimum.

    Wyznaczmy jeszcze wartość jaką przyjmuje funkcja w tym ekstremum. Liczymy: \[f(0)=\frac{1}{{0}^{2}-2}+1=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}\] (ta wartość przyda się podczas rysowania wykresu funkcji)
Na koniec rysujemy jeszcze wykres funkcji:
Na podstawie wykresu odczytujemy zbiór wartości funkcji: \[ZW = \left ( -\infty ;\frac{1}{2} \right \rangle \cup \left ( 1;+\infty \right )\]