1. Definicja i przykłady ciągu geometrycznego

Przed rozpoczęciem nauki o ciągu geometrycznym warto zapoznać się z samym pojęciem ciągu.
Ciąg geometryczny - to taki ciąg liczb, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej q razy.
Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

Przykłady
  • 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...
    Iloraz tego ciągu geometrycznego jest równy 2 (czyli każda kolejna liczba jest 2 razy większa od poprzedniej).
    Pierwszy wyraz ciągu jest równy 1.
    Piąty wyraz ciągu jest równy 16.
    Dziewiąty wyraz ciągu jest równy 256.
  • 3, 9, 27, 81,...
    Iloraz tego ciągu geometrycznego jest równy 3.
    Pierwszy wyraz ciągu jest równy 3.
    Trzeci wyraz ciągu jest równy 27.
  • 2, 6, 18, 54, 162,...
    Iloraz tego ciągu geometrycznego jest równy 3.
    Pierwszy wyraz ciągu jest równy 2.
    Czwarty wyraz ciągu jest równy 54.
  • 4, -20, 100, -500, 2500,...
    Iloraz tego ciągu geometrycznego jest równy -5.
    Pierwszy wyraz ciągu jest równy 4.
    Czwarty wyraz ciągu jest równy -500.
  • 10, 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001,...
    Iloraz tego ciągu geometrycznego jest równy 0.1.
    Pierwszy wyraz ciągu jest równy 10.
    Czwarty wyraz ciągu jest równy 0.01.
    Ósmy wyraz ciągu jest równy 0.000001.
  • 9, 9, 9, 9, 9,...
    Iloraz tego ciągu geometrycznego jest równy 1.
    Ciąg ten jest ciągiem stałym i każdy jego wyraz jest równy 9.
  • 9, -9, 9, -9, 9,...
    Iloraz tego ciągu geometrycznego jest równy -1.
    Ciąg ten jest ciągiem naprzemiennym i jego wyrazy są równe na przemian 9 i -9.
Przykłady (ciągów niegeometrycznych)
  • 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
    Dowolny ciąg arytmetyczny nie jest ciągiem geometrycznym.
  • 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2,...
    Tego typu ciąg naprzemienny nie jest ciągiem geometrycznym.
  • 1, 2, -2, -5, 6, 17, 7, 1,...
    Każdy "chaotyczny" ciąg liczbowy nie jest ciągiem geometrycznym.
Poniżej znajduje się zestawienie najważniejszych wiadomości o ciągu geometrycznym, wraz z przykładami:

2. Wzór na n-ty wyraz ciągu ciągu geometrycznego

Znając pierwszy wyraz ciągu (a1) oraz iloraz ciągu (q) można obliczyć dowolny n-ty wyraz (an) ze wzoru: an = a1*q^(n-1) Przykład 1. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego, o którym wiesz, że:
  • a1 = 3 oraz q = 2.
    Rozwiązanie:
    an = 3⋅2n - 1
  • a1 = -5 oraz q = 6.
    Rozwiązanie:
    an = -5⋅6n - 1
Przykład 2. Wyznacz 10-ty wyraz ciągu geometrycznego, o którym wiesz, że:
  • a1 = 3 oraz q = 2.
    Rozwiązanie:
    a10 = 3⋅210 - 1 = 3⋅29 = 3⋅512 = 1536
  • a1 = 17 oraz q = -1.
    Rozwiązanie:
    a10 = 17⋅(-1)10 - 1 = 17⋅(-1)9 = 17⋅(-1) = -17
W sytuacji gdy musimy obliczyć n-ty wyraz ciągu, a znamy k-ty wyraz i iloraz q, to możemy skorzystać ze wzoru: an = a1*q^(n-k) Przykład 3. Wyznacz 21-ty wyraz ciągu geometrycznego, o którym wiesz, że:
  • a18 = -5 oraz q = 2.
    Rozwiązanie:
    a21 = -5⋅221-18 = -5⋅23 = -5⋅8 = -40
  • a23 = 81 oraz q = 3.
    Rozwiązanie:
    a21 = 81⋅321-23 = 81⋅3-2 = 81:9 = 9

Zadanie 1.

W ciągu geometrycznym (an) mamy a3 = 5 i a4 = 15. Wtedy wyraz a5 jest równy.

Zadanie 2.

Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy (-2). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 3.

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 1, a drugi wyraz tego ciągu jest równy 2. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 4.

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy 5, a iloraz tego ciągu jest równy 3. Trzydziesty wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 5.

Dany jest ciąg geometryczny , w którym i . Wówczas

Zadanie 6.

Ciąg geometryczny określony jest wzorem . Iloraz tego ciągu jest równy:
 
 
 

Zadanie 7.

Ciąg geometryczny określony jest wzorem dla . Iloraz tego ciągu jest równy
A.
B.
C.
D.

3. Suma ciągu geometrycznego

Sumę pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego liczymy ze wzoru: Sn = a1*(1-q^n)/(1-q) Przykład. Oblicz sumę 9 pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego o wzorze ogólnym an = 2n.
Obliczamy pierwszy wyraz ciągu:
a1 = 21 = 2
Zatem szukana suma wynosi:

4. Zbiór zadań z ciągu geometrycznego

Zadanie 2.

Wyznacz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego a1, wiedząc, że:

Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Strona z zadaniem

Zadanie 3.

Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego q, wiedząc, że:

Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Strona z zadaniem

Zadanie 4.

Wyznacz liczbę n wyrazów ciągu geometrycznego, wiedząc, że:

Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Strona z zadaniem

Zadanie 5.

Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego (an), wiedząc, że:

Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Strona z zadaniem

Zadanie 6.

Z beczki zawierającej 30 litrów wina karczmarz zaczerpnął 1 litr, a następnie dolał 1 litr wody. Postąpił tak dziesięć razy. Ile czystego wina pozostało w beczce?

Zadanie 7.

Wykaż, że liczby tworzą ciąg geometryczny.

Zadanie 8.

Wykaż, że liczby tworzą ciąg geometryczny.

Zadanie 9.

Między liczby 3 i wstaw trzy liczby tak, by wraz z podanymi liczbami tworzyły ciąg geometryczny.

Zadanie 10.

Między liczby 12 i 2916 wstaw cztery liczby tak, by wraz z podanymi liczbami tworzyły ciąg geometryczny.

Zadanie 11.

Trzeci wyraz ciągu geometrycznego równa się 45, a szósty wynosi 1215. Znajdź sumę ośmiu pierwszych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 12.

Dwa wyrazy środkowe ciągu geometrycznego, mającego szesnaście wyrazów, równają się i . Znajdź pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.

Zadanie 13.

Ciąg geometryczny składa się z pięciu wyrazów, których suma wynosi 124. Iloraz sumy wyrazów skrajnych przez wyraz środkowy równy jest 4,25. Wyznacz ten ciąg.

Zadanie 14.

Suma trzech wyrazów tworzących ciąg geometryczny jest równa 21, a ich iloczyn wynosi 216. Znajdź ten ciąg.

Zadanie 15.

Wyznacz rosnący ciąg geometryczny, wiedząc, że suma wyrazów skrajnych jest równa 34, iloczyn tych wyrazów 64, a suma wszystkich wyrazów ciągu wynosi 62.

Zadanie 16.

Znajdź ciąg geometryczny o czterech wyrazach, w którym wyraz trzeci zmniejszony o sumę dwóch pierwszych jest równy 3, a czwarty wyraz zmniejszony o sumę dwóch środkowych jest równy 6.

Zadanie 17.

Wyznacz czterowyrazowy ciąg geometryczny, wiedząc, że iloczyn wyrazów skrajnych tego ciągu jest równy 27, a suma kwadratów dwóch pierwszych wyrazów wynosi 10.

Zadanie 18.

Jaką jednakową liczbę należy dodać do każdej z liczb 1, 10, 46, aby otrzymane sumy utworzyły ciąg geometryczny?

Zadanie 19.

Za trzy książki, których ceny tworzą ciąg geometryczny, zapłacono 61 złotych. Za pierwszą i drugą razem zapłacono o 11 złotych więcej niż za trzecią. Ile zapłacono za każdą z książek?

Zadanie 20.

Piłka odbijając się od ziemi osiągała za każdym razem wysokość wynoszącą

Zadanie 21.

Pan Jan złożył do banku 2500 zł na cztery lata na procent składany. Jaką kwotę będzie miał na koncie po tym okresie, jeżeli oprocentowanie w banku wynosi 10% w skali roku, a odsetki kapitalizuje się:

Przy rozwiązaniu należy uwzględnić 20% podatek od odsetek.
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Obejrzyj na YouTube
Strona z zadaniem

Zadanie 22.

Znajdź trzy liczby tworzące ciąg geometryczny, który ma własność: jeśli do drugiej liczby dodamy 8, ciąg zmieni się na arytmetyczny, jeśli do ostatniego wyrazu nowego ciągu dodamy 64, ciąg znów stanie się geometryczny.

Zadanie 23.

Z czterech liczb trzy początkowe tworzą ciąg geometryczny, a trzy końcowe – ciąg arytmetyczny. Znajdź te liczby, jeśli suma liczb pierwszej i ostatniej równa się 14, suma drugiej i trzeciej 12.

5. Różne zadania z ciągu geometrycznego

Zadanie 1.

Liczby 2; 2x-1; 0,5 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem monotonicznego ciągu geometrycznego dla

Zadanie 2.

Trzy lata temu pewne miasteczko liczyło 25 000 mieszkańców. Przez trzy ostatnie lata każdego roku liczba mieszkańców zmniejszyła się o 10%. Oblicz, ile osób mieszka w tym miasteczku.

Zadanie 3.

W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1 = 36, a2 = 18. Wtedy

Zadanie 4.

Ciąg (2√2, 4, a) jest geometryczny. Wówczas

Zadanie 5.

W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1 = 3 i a4 = 24. Iloraz tego ciągu jest równy

Zadanie 6.

Liczby 2x, 16, x są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz x.

Zadanie 7.

Liczby 12, 18, 2x + 1 są, w podanej kolejności, odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wynika stąd, że

Zadanie 8.

W ciągu geometrycznym (an) dane są . Wtedy wyraz a1 jest równy

Zadanie 9.

Liczby 64, x, 4 są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.

Zadanie 10.

Liczby -8, 4 i x+1 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba x jest równa.

Zadanie 11.

W ciągu geometrycznym (an) są dane: a2 = -1, q = -2. Suma czterech kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Zadanie 12.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an), w którym . Wtedy

Zadanie 13.

Ciąg (27, 18, x+5) jest geometryczny. Wtedy

Zadanie 14.

Ciąg liczbowy (a, b, c) jest arytmetyczny i a + b + c = 33, natomiast ciąg (a - 1, b + 5, c + 19) jest geometryczny. Oblicz a, b, c.

Zadanie 15.

Liczby 3x−4, 8, 2 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wtedy

Zadanie 16.

Ciąg (2x – 1, y, 6x + 3) jest arytmetyczny, a ciąg (3, y, 27) jest geometryczny rosnący. Oblicz .

Zadanie 17.

Liczby: x-2,6,12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa
A. 0
B. 2
C. 3
D. 5