1. Wprowadzenie do całek

Całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania.
Żeby sprawnie liczyć całki, należy wcześniej dobrze opanować liczenie pochodnych.
Całkę oznaczamy symbolem
który przypomina rozciągniętą literę S. Symbol ten pochodzi od łacińskiego słowa Summa (suma).
Poniżej podam uproszczoną definicję całki.
Całką funkcji f(x) nazywamy taką funkcję F(x), że: Funkcję F(x) spełniającą powyższy warunek nazywa się funkcją pierwotną.
Samą operację całkowania zapiszemy w następujący sposób:
W powyższym napisie pojawił się trochę niespodziewanie na końcu całki znaczek dx. Mówi on, że całkujemy funkcję f(x) po zmiennej x i tak jakby zamyka operację całkowania. Przy liczeniu prostych całek jego istnienie na nic nie wpływa, ale należy go pisać ze względów formalnych.
Możemy zaten napisać, że schemat całkowania wygląda następująco:
Przykład 1. Oblicz całkę funkcji f(x) = 2x + 7.
Rozwiązanie
Wykonujemy następujący rachunek:

Sprawdzamy rozwiązanie:

Należy jednak zauważyć, że znaleziona przez nas funkcja F(x) = x2 + 7x nie jest jedynym dobrym rozwiązaniem. Do powyższej funkcji moglibyśmy dodać jeszcze dowolną liczbę i wówczas otrzymalibyśmy inną dobrą funkcję pierwotną dla funkcji f(x) = 2x + 7. Na przykład:

Zatem teoretycznie powinniśmy napisać:

gdzie C - to dowolna liczba rzeczywista.
W praktyce jednak często zapisuje się wynik bez tego C, tak jak to zrobiliśmy od razu na początku.
Przykład 2. Oblicz całkę funkcji f(x) = x2.
Rozwiązanie
Wykonujemy następujący rachunek:

Sprawdzamy rozwiązanie:

Do całkowania prostych funkcji wykorzystujemy wzory całkowe, które są również przydatne przy liczeniu całek bardziej skomplikowanych funkcji.

2. Wzory całkowe wybranych funkcji

Numer wzoru Funkcja Całka funkcji
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)

3. Przykłady całek elementarnych

Poziom trudności kolejnych zadań stopniowo rośnie. Rozwiązania dalszych zadań opierają się często na wiedzy zdobytej w przykładach wcześniejszych.

Zadanie 1.

Oblicz całkę .
Obejrzyj na YouTube

Zadanie 2.

Oblicz całkę .
Obejrzyj na YouTube

Zadanie 3.

Oblicz całkę .
Obejrzyj na YouTube

Zadanie 4.

Oblicz całkę .
Obejrzyj na YouTube

Zadanie 5.

Oblicz całkę .
Obejrzyj na YouTube

Zadanie 6.

Oblicz całkę .
Obejrzyj na YouTube

Zadanie 7.

Oblicz całkę .
Obejrzyj na YouTube

Zadanie 8.

Oblicz całkę .
Obejrzyj na YouTube

Zadanie 9.

Oblicz całkę .
Strona z zadaniem

Zadanie 10.

Oblicz całkę .
Strona z zadaniem

Zadanie 11.

Oblicz całkę .
Strona z zadaniem

Zadanie 12.

Oblicz całkę .
Strona z zadaniem

4. Całkowanie przez podstawianie

Jeżeli funkcję f(x) można zapisać w postaci:
gdzie funkcja h(x) ma ciągłą pochodną, to wówczas:


Przykłady:
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Całkowanie przez części

Jeżeli funcje f i g mają ciągłe pochodne, to:
lub


Przykłady:

 

 

 

 

 
Zatem mamy równość:
 

6. Różne całki - zadania