Zbiory

Drukuj
Poziom podstawowy
Zbiory oznaczamy wielkimi literami.
Elementy zbioru zapisujemy w nawiasach klamrowych i oddzielamy przecinkami.
Najczęściej spotykamy zbiory liczbowe, którego elementami są liczby.
\(\mathbb{N} = \{0,1,2,3,4,5,...\}\) - zbiór liczb naturalnych
\(A = \{2, 4, 6, 8,...\}\) - zbiór liczb parzystych dodatnich
\(B = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) - zbiór cyfr

Definicja

Zbiór skończony - to zbiór, który ma skończoną liczbę elementów.
Zbiór nieskończony - to zbiór który ma nieskończenie wiele elementów.
Zbiór pusty - to zbiór do którego nie należy żaden element. Zbiór pusty oznaczamy symbolem \(\emptyset \).
Jeżeli chcemy zapisać, że element należy do zbioru, to używamy symbolu \(\in \), np. \(5\in \mathbb{N} \) lub \(\frac{3}{4}\in \mathbb{Q} \).
Aby zapisać, że element nie należy do zbioru, to używamy symbolu \(\notin \), np. \(\frac{1}{2}\notin \mathbb{N} \) lub \(\sqrt{2}\notin \mathbb{Q} \).
Zbiory można zapisywać podając warunek, który mają spełniać jego elementy.
\(A=\{x\in \mathbb{N}: x^2\leqslant 9\}\), to zbiór \(A=\{0,1,2,3\}\).
\(\mathbb{Q} =\{x: x=\frac{p}{q}\ \text{ i }\ p,q\in \mathbb{Z}\ \text{ i }\ q\ne 0\}\) - zbiór liczb wymiernych

Definicja

Zbiory \(A\) i \(B\) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy maję te same elementy. Zapisujemy to: \[A=B\]
Zapis \(A\ne B\) oznacza, że zbiory nie są równe.
Sprawdź które spośród zbiorów \(A\), \(B\) i \(C\) są równe?
\(A=\{x\in \mathbb{N}: x^2\lt 9\}\)
\(B=\{0,1,2,3\}\)
\(C\) - zbiór cyfr potrzebnych do zapisania liczby \(12001\)
Określamy dokładnie zbiory:
\(A=\{0, 1, 2\}\) (liczba \(3\notin A\), ponieważ nierówność jest ostra),
\(B=\{0,1,2,3\}\)
\(C=\{1,2,0\}\).
Zatem mamy \(A = C\), \(A \ne B\) i \(B \ne C\).

Definicja

Zbiór \(A\) jest podzbiorem zbioru \(B\) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru \(A\) jest elementem zbioru \(B\). Zapisujemy to: \[A\subset B\] Mówimy też, że zbiór \(A\) zawiera się w zbiorze \(B\).
Zapis \(A\not\subset B\) oznacza, że \(A\) nie jest zawarty w \(B\).
Podzbiorem każdego zbioru \(A\) jest ten sam zbiór \(A\) oraz zbiór pusty, czyli: \(A\subset A\) oraz \(\emptyset \subset A\).
Dla poznanych zbiorów liczbowych zachodzą następujące zawierania: \[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
Niech \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{3,4,5\}\) oraz \(C=\{1,2,3,4,5,6,7\}\). Wówczas mamy: \[A\subset C\ \ \text{i}\ \ B\subset C\]
Niech \(A=\{-5,5\}\) oraz \(B=\{x\in \mathbb{R}: x^2=25\}\). Wówczas mamy równość zbirów: \(A=B\), czyli: \[A\subset B\ \ \text{i}\ \ B\subset A\]

Definicja

Zbiory które rozpatrujemy są często podzbiorami pewnego większego zbioru. Taki nadrzędny zbiór nazywamy przestrzenią. Przestrzeń oznaczamy często literą \(U\).
Przestrzenią dla zbiorów liczbowych jest często zbiór liczb rzeczywistych.
Tematy nadrzędne i sąsiednie