Zbiór zadań - funkcja kwadratowa

Zbiorem wartości funkcji \(f(x)=-(x+7)(x-3)\) jest:

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W = (2, -4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+3)(x-5)\). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), ma współrzędną \(x\) równą

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-x^2+4\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\). Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji \(f\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \((3,0)\). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych \((0,-9)\).

Funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale

Wzór funkcji \(f\) zapisano w odpowiedziach oznaczonych literami: .......... oraz .......... .

Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x)=f(x)-1\).

Funkcja \(g\) ma jedno miejsce zerowe.	P	F
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) osią symetrii wykresu funkcji \(g\) jest prosta o równaniu \(x=3\).	P	F

Na rysunku są przedstawione fragmenty wykresów funkcji kwadratowych \(f\) i \(g\). Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-x^2+6x-5\), a mniejsze z jej miejsc zerowych jest jednocześnie miejscem zerowym funkcji \(g\). Wierzchołek \(W\) paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), leży na wykresie funkcji \(g\), a wierzchołek \(Z\) paraboli będącej wykresem funkcji \(g\) leży na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Wyznacz wzór funkcji \(g\).

Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x) = −2(x + 1)(x − 3)\) jest malejąca w przedziale

Wzór funkcji kwadratowej można zapisać w postaci ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej (o ile istnieje).

Dana jest funkcja kwadratowa \(y=f(x)\), której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej. Funkcja kwadratowa \(y=f(x)\) jest określona wzorem

Do wykresu pewnej funkcji kwadratowej \(y=g(x)\) należy punkt o współrzędnych \(P=(2,-6)\). Osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu \(x=3\), a jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest \(x_1=1\).

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=3x^2+bx+c\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(-3,2)\). Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to

Dana jest funkcja kwadratowa \(f\), której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Funkcja \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x)=f(x-2)\). Wykres funkcji \(g\) przedstawiono na rysunku

Wyznacz i zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności: \[f(x)\le 0\]

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\) w postaci kanonicznej.
Zapisz obliczenia.

Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x) = x^2 + bx + c\) osiąga dla \(x = 2\) wartość najmniejszą równą \(4\). Wtedy

Dana jest funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x) = -2(x - 2)(x + 1)\). Funkcja \(f\) jest rosnąca w zbiorze

Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=x^2-b-2 \sqrt{2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest \(x=\sqrt{2}+1\). Współczynnik \(b\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3 x^{2}+2 x+m\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Współczynnik \(m\) jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera. Funkcja \(f\)

Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) jest parabola, na której leży punkt \(A=(0,-5)\). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu \(x=7\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).

Dana jest funkcja \(f(x)=-3x^2+bx+c\) dla \(x\in \mathbb{R} \). Prosta o równaniu \(x=2\) jest osią symetrii paraboli będącej jej wykresem, a zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \((-\infty ;21\rangle \). Wyznacz współczynniki \(b\) i \(c\).

Funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+bx+c\) nie ma miejsc zerowych. Wykaż, że \(1+c\gt b\).

Wykres funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma z prostą o równaniu \(y=6\) dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty \(A=(-5,0)\) i \(B=(3,0)\) należą do wykresu funkcji \(f\). Oblicz wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+3\) w przedziale \(\langle 0,4\rangle \).

Największa wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=a(x-2)^2-4\), gdzie \(a\ne 0\), w przedziale domkniętym \(\langle -4,-2\rangle \) jest równa \(12\). Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -4,-2\rangle \).

Funkcja kwadratowa \(f\) przyjmuje w przedziale \(\langle 0,3\rangle \) największą wartość dla argumentów \(0\) i \(3\). Uzasadnij, że w przedziale \(\langle -2,5\rangle \) funkcja \(f\) przyjmuje największą wartość dla argumentów \(-2\) i \(5\).

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c.\) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(6\) oraz \(f(-6)=f(0)=\frac{3}{2}\). Oblicz wartość współczynnika \(a\).

Funkcja \(f(x)=(m+3)x^2+16x+5\) osiąga wartość największą dla \(x=2\). Oznacza to, że największa wartość tej funkcji jest równa:

Największą wartością funkcji \(y = -(x-2)^2 + 4\) w przedziale \(\langle 3, 5\rangle\) jest

Najmniejszą wartością funkcji \(f(x) = (1-x)(x-5)\) w przedziale \(\langle -1, 5\rangle\) jest

Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk \(Z\) ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem \[ Z(x)=(500+50 x)(16-x) \] gdzie:
\(x\) - kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki \(x \geq 1\) i \(x \leq 14\),
\(Z\) - roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny. Roczny zysk \(Z\) ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla \(x\) równego

Hotel ma do dyspozycji gości \(80\) pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że:

• przy wyjściowej cenie wynoszącej \(120\) zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte
• każdy wzrost ceny za dobę hotelową o \(5\) zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o \(1\).

Przyjmijmy, że dobowy przychód \(P\) hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o \(5x\) złotych, opisuje funkcja \[ P(x)=(80-x)(120+5x) \] gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(x\ge 0\) i \(x\le 80\).

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z \(30\) kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę \(L\) obsługiwanych klientów \(n\)-tego dnia opisuje funkcja \[L(n) = -n^2 + 22n + 279\] gdzie \(n\) jest liczbą naturalną spełniającą warunki \(n \ge 1\) i \(n \le 30\).

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa \(L(30)\).	P	F
W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono \(336\) klientów.	P	F

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po \(196\) złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

• przychód \(P\) (w złotych) ze sprzedaży \(x\) krzeseł można opisać funkcją \(P(x) = 196x\)
• koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) krzeseł dziennie można opisać funkcją \[K(x) = 4x^2 + 4x + 240\]

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej \(30\) krzeseł. Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk. Zapisz obliczenia.

Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości \(10\) m (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego obie działki wyniesie \(580\) metrów, przy czym szerokości obu bram wjazdowych nie wliczają się w długość płotu.

Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym \(200\) i kącie ostrym o mierze \(30^\circ\).

Działka ma kształt trapezu. Podstawy \(AB\) i \(CD\) tego trapezu mają długości \(|AB| = 400\) m oraz \(|CD| = 100\) m. Wysokość trapezu jest równa \(75\) m, a jego kąty \(DAB\) i \(ABC\) są ostre.
Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie \(AB\) tego trapezu, a dwa pozostałe - \(E\) oraz \(F\) - na ramionach \(AD\) i \(BC\) trapezu (zobacz rysunek). Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) oraz \(EFCD\): \[P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\]

Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(AE\) jest \(3\) razy dłuższa od krawędzi \(A B\), a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa \(48\) (zobacz rysunek). Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\).

Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(A B C D E F G H\), w których krawędź \(BC\) ma długość \(4\) oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka \(B\) jest równa \(15\) (zobacz rysunek). Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\).