Wzory i własności w rachunku prawdopodobieństwa
Własności prawdopodobieństwa
- Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego \(A\) jest zawsze liczbą z przedziału \(\langle 0; 1 \rangle\). \[0\le P(A)\le 1\]
- Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe \(1\). \[P(\Omega )=1\]
- Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe \(0\). \[P(\emptyset )=0\]
Przydatne wzory
- Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego: \[P(A')=1-P(A)\]
- Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń \[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]
Prawdopodobieństwo warunkowe
- Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia \(A\) pod warunkiem zajścia zdarzenia \(B\) liczymy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\] gdzie \(P(B)>0\)
Prawdopodobieństwo całkowite
- Jeżeli zdarzenia \(B_1, B_2, ..., B_n\) są parami rozłączne oraz mają prawdopodobieństwa dodatnie, które sumują się do jedynki, to dla dowolnego zdarzenia \(A\) zachodzi wzór: \[P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)+...+P(A|B_n)\cdot P(B_n)\]
Wzór Bayesa
- Jeżeli zdarzenia \(B_1, B_2, ..., B_n\) są parami rozłączne oraz mają prawdopodobieństwa dodatnie, które sumują się do jedynki, to dla dowolnego zdarzenia \(A\) zachodzi wzór: \[P(B_k|A)=\frac{P(A|B_k)\cdot P(B_k)}{P(A)}\]
Schemat Bernoulliego
- W schemacie Bernoulliego prawdopodobieństwo uzyskania \(k\) sukcesów w \(n\) próbach można obliczyć ze wzoru: \[P_n(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\] gdzie \(p\) - to prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie