Wymagania szczegółowe CKE - matura od 2025

Drukuj
Plik pdf z wymaganiami:
Wymagania CKE z matematyki 2025
I. Liczby rzeczywiste.
Zakres podstawowy. Uczeń:
wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;
przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:
dowód podzielności przez \(24\) iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych,
dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej;
stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;
stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;
stosuje własności monotoniczności potęgowania, w szczególności własności: jeśli \(x\lt y\) oraz \(a\gt1\), to \(a^x\lt a^y\), zaś gdy \(x\lt y\) i \(0\lt a\lt1\), to \(a^x\gt a^y\);
posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;
stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: \(|x+4|=5\);
wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów;
stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.
Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.
II. Wyrażenia algebraiczne.
Zakres podstawowy. Uczeń:
stosuje wzory skróconego mnożenia na: \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \(a^2-b^2\)
dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;
wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;
mnoży i dzieli wyrażenia wymierne;
Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
dzieli wielomian jednej zmiennej \(W(x)\) przez dwumian postaci \(x-a\);
rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów;
znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych;
stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona):
\(\binom{n}{0}=1,\ \binom{n}{1}=n\), \(\binom{n}{n-1}=n\),
\(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\),
\(\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1} \)
korzysta ze wzorów na: \(a^3+b^3,\ a^3-b^3,\ a^n-b^n,\ (a+b)^n\) i \((a-b)^n\);
dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, np.: \(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\), \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\), \(\frac{x+1}{x+2}+\frac{x-1}{x+1}\).
III. Równania i nierówności.
Zakres podstawowy. Uczeń:
przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie \(\frac{5}{x+1}=\frac{x+3}{2x-1}\);
interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;
rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;
rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;
rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej;
Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\) oraz nierówności wielomianowe typu: \(W(x)\gt 0\), \(W(x)\ge 0\), \(W(x)\lt 0\), \(W(x)\le 0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż które dadzą się sprowadzić do równania lub nierówności liniowej lub kwadratowej;
stosuje wzory Viete'a dla równań kwadratowych;
rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną;
analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają określone znaki bądź należą do określonego przedziału, wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów;
rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;
rozwiązuje równania wymierne postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdzie wielomiany \(V(x)\) i \(W(x)\) są zapisane w postaci iloczynowej.
IV. Układy równań.
Zakres podstawowy. Uczeń:
rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;
stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych;
Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
rozwiązuje układy równań liniowych i kwadratowych z dwiema niewiadomymi, które można sprowadzić do równania kwadratowego lub liniowego, a które nie są trudniejsze niż \[\begin{cases} x^2+y^2+ax+by=c \\ x^2+y^2+dx+ey=f \end{cases} \]
V. Funkcje.
Zakres podstawowy. Uczeń:
określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);
oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;
odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;
interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach;
szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);
wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;
na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) szkicuje wykresy funkcji \(y=f(x-a)\), \(y=f(x)+b\)
posługuje się funkcją \(f(x)=\frac{a}{x}\), w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych;
posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) szkicuje wykresy funkcji \(y=-f(x)\), \(y=f(-x)\)
posługuje się złożeniami funkcji;
dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie: wykaż, że funkcja \(f(x)=\frac{x-1}{x+2}\) jest monotoniczna w przedziale \((-\infty ,-2)\).
VI. Ciągi.
Zakres podstawowy. Uczeń:
oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie;
w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;
sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.
Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu \(\frac{1}{n}\), \(\sqrt[n]{a}\) oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach;
rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.
VII. Trygonometria.
Zakres podstawowy. Uczeń:
wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\), w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\);
korzysta z wzorów \(\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\), \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)
stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta \(P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \gamma \)
oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).
Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
stosuje miarę łukową, zamienia stopnie na radiany i odwrotnie;
posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens;
wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;
stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych;
korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych;
rozwiązuje równania trygonometryczne;
stosuje twierdzenie sinusów;
oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).
VIII. Planimetria.
Zakres podstawowy. Uczeń:
wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;
rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;
stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;
stosuje twierdzenie Talesa;
korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;
wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
przeprowadza dowody geometryczne;
stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;
Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.
stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa;
IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Zakres podstawowy. Uczeń:
rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;
posługuje się równaniem prostej na płaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej);
oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;
posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).
Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
znajduje punkty wspólne prostej i okręgu;
znajduje punkty wspólne dwóch okręgów;
zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie;
wyznacza równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej i prostej stycznej do zadanego okręgu.
X. Stereometria.
Zakres podstawowy. Uczeń:
rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii;
wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.
Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych;
wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.
XI. Kombinatoryka.
Zakres podstawowy. Uczeń:
zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;
zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:
obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra \(1\) i dokładnie jedna cyfra \(2\),
obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra \(0\) i dokładnie jedna cyfra \(1\).
Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji;
stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.
XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.
Zakres podstawowy. Uczeń:
oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;
oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę;
Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
oblicza prawdopodobieństwo warunkowe i stosuje wzór Bayesa, stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym;
stosuje schemat Bernoulliego.
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy.
Zakres podstawowy. Uczeń:
rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
oblicza granice funkcji (w tym jednostronne);
stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji;
stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej;
oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej;
stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
Tematy nadrzędne i sąsiednie