Wykres proporcjonalności odwrotnej

Jeżeli wielkości \( x \) i \( y \) są odwrotnie proporcjonalne, to:
\[x\cdot y=a\] gdzie \( a \) - to liczba stała.
Jeżeli podzielimy to równanie stronami przez \( x \) to otrzymamy wzór: \[y=\frac{a}{x}\] Wykresem funkcji określonej wzorem \( y=\frac{a}{x} \) jest hiperbola.
Narysuj zależność dwóch wielkości odwrotnie proporcjonalnych opisanych równaniem:\[x\cdot y=1\]
Przekształcamy wzór dzieląc go stronami przez \( x \): \[y=\frac{1}{x}\] Dla tak otrzymanego wzoru funkcji wyznaczamy kilka punktów należących do wykresu:
\( x \) \( 0{,}2 \) \( 0{,}5 \) \( 1 \) \( 2 \) \( 4 \)
\( y=\frac{1}{x} \) \( 5 \) \( 2 \) \( 1 \) \( 0{,}5 \) \( 0{,}25 \)
Następnie rysujemy wykres: Wykres narysowaliśmy tylko dla \( x > 0 \).
Motocyklista jadący z prędkością \(80 \frac{\text{km}}{\text{h}}\) pokonuje pewną drogę w \(3\) godziny.
Wyznacz funkcję prędkości od czasu, a następnie naszkicuj jej wykres.
Zaczynamy od wyznaczenia wzoru funkcji. Wprowadźmy oznaczenia:
\( x \) - prędkość
\( y \) - czas
Korzystając z faktu, że prędkość i czas są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, zapisujemy równanie: \[x\cdot y=80\cdot 3\] Wyznaczamy z tego równania niewiadomą \( y \): \[\begin{split}\quad \quad \quad \quad x\cdot y&=240\quad \quad \quad //:x\\y&=\frac{240}{x}\end{split}\] Zatem szukany wzór funkcji to: \[\begin{split}y&=\frac{240}{x}\end{split}\] Dla tak otrzymanego wzoru funkcji wyznaczamy kilka punktów:
\( x \) \( 2 \) \( 10 \) \( 20 \) \( 30 \) \( 80 \)
\( y=\frac{240}{x} \) \( 120 \) \( 24 \) \( 12 \) \( 8 \) \( 3 \)
i rysujemy wykres: Z wykresu (oraz z tabelki) możemy odczytać, że:
  • z prędkością \( 2 \frac{\text{km}}{\text{h}} \) motocyklista będzie jechał \( 120 \) godzin.
  • z prędkością \( 10 \frac{\text{km}}{\text{h}} \) motocyklista będzie jechał \( 24 \) godziny.
  • z prędkością \( 20 \frac{\text{km}}{\text{h}} \) motocyklista będzie jechał \( 12 \) godzin.
  • z prędkością \( 30 \frac{\text{km}}{\text{h}} \) motocyklista będzie jechał \( 8 \) godzin.
Sąsiednie tematy
Wykres proporcjonalności odwrotnej (tu jesteś)