Twierdzenie o trzech ciągach

Dzięki temu prostemu i naturalnemu twierdzeniu możemy liczyć różne, często dość skomplikowane granice.

Twierdzenie o trzech ciągach

Jeżeli dane są ciągi \(a_n\), \(b_n\) oraz \(c_n\) takie, że:
1) \(\underset{m\in \mathbb{N} }{\exists}\ \underset{n\gt m}{\forall}a_n\le b_n\le c_n \)
2) \(\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} c_n=g\)
to wówczas: \[\lim_{n \to \infty} b_n=g\]

Oblicz granicę ciągu \(x_n=\sqrt[n]{2\cdot 3^n+5\cdot 7^n}\).

\(7\)

Oblicz granicę ciągu \(x_n=\sqrt[n]{2\cdot 5^n+\sin n}\).

\(5\)

Oblicz granicę ciągu \(x_n=\sqrt[n]{2n+\frac{(-1)^n}{n}}\).

\(1\)

Oblicz granicę ciągu \(x_n=\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+...+\frac{n}{n^2+n}\).

\(\frac{1}{2}\)