Reszta z dzielenia wielomianu

Poziom podstawowy
Po podzieleniu wielomianu \(w(x)\) przez dwumian \(x-a\) otrzymujemy wynik w postaci wielomianu \(p(x)\) oraz resztę \(r\): \[w(x)=p(x)(x-a)+r\]

Twierdzenie o reszcie

Jeśli \(r\) jest resztą z dzielenia wielomianu \(w(x)\) przez dwumian \(x-a\), to \(w(a)=r\).
Oblicz resztę z dzielenia wielomianu \(w(x)=2x^3+x^2-5x+3\) przez dwumian \(x-2\).
Niech \(r\) oznacza szukaną resztę.
Wielomian \(w(x)\) możemy zapisać w postaci: \[w(x)=p(x)(x-2)+r\] Dla \(x=2\) mamy: \[ w(2)=p(2)\cdot (2-2)+r=0+r=r \] Zatem szukana reszta to: \[ r=w(2)=2\cdot 2^3+2^2-5\cdot 2+3=13 \]
Oblicz resztę z dzielenia wielomianu \(w(x)=7x^4-13\) przez dwumian \(x+1\).
Niech \(r\) oznacza szukaną resztę.
Wielomian \(w(x)\) możemy zapisać w postaci: \[w(x)=p(x)(x+1)+r\] Dla \(x=-1\) mamy: \[ w(-1)=p(-1)\cdot (-1+1)+r=0+r=r \] Zatem szukana reszta to: \[ r=w(-1)=7\cdot (-1)^4-13=7-13=-6 \]
Oblicz resztę z dzielenia wielomianu \(w(x)=x^3-x^2+2x+3\) przez dwumian \(x-5\).
Analogicznie jak w poprzednich przykładach - z twierdzenia o reszcie wynika, że: \[ r=w(5)=5^3-5^2+2\cdot 5+3=113 \]
Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez \(x-2\) jest równa \(2\). Oblicz resztę z dzielenia wielomianu \(W(x-1)\) przez \(x-3\).
\(2\)
Dla jakich wartości parametru \(m\) reszta z dzielenia wielomianu \(x^{17}-m x^{15}+(m-2) x^{10}+2 x+m^2-2\) przez dwumian \(x-1\) jest równa 3?
\(m=2\) lub \(m=-2\)
Wielomian \(f\) jest dany wzorem \(f(x)=x^4+x^3-2x^2+3x-a\). Reszta z dzielenia wielomianu \(f\) przez dwumian \(x-2\) jest równa \(3\), gdy \(a\) jest równe
A.\( 12 \)
B.\( 17 \)
C.\( 19 \)
D.\( 22 \)
C
Wielomian \(W(x)=6x^3+3x^2-5x+p\) jest podzielny przez dwumian \(x-1\) dla \(p\) równego
A.\( 4 \)
B.\( -2 \)
C.\( 2 \)
D.\( -4 \)
D
Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=x^3-2x^2+ax+\frac{3}{4}\) przez dwumian \(x-2\) jest równa \(1\). Oblicz wartość współczynnika \(a\).
W poniższe kratki wpisz kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
 
Wielomian \(W\) określony wzorem \(W(x)=x^{2019}-3x^{2000}+2x+6\)
A.jest podzielny przez \((x-1)\) i z dzielenia przez \((x+1)\) daje resztę równą \(6\).
B.jest podzielny przez \((x+1)\) i z dzielenia przez \((x-1)\) daje resztę równą \(6\).
C.jest podzielny przez \((x-1)\) i jest podzielny przez \((x+1)\).
D.nie jest podzielny ani przez \((x-1)\), ani przez \((x+1)\).
Poziom rozszerzony
Dla pewnej wartości parametru \(m\) reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=8x^8+6x^6+4x^4+2x^2+m\) przez \(x-2\) jest równa \(2014\). Reszta z dzielenia wielomianu \(W\) przez \(2x+4\) jest równa
A.\( -2014 \)
B.\( -1007 \)
C.\( 2014 \)
D.\( 4028 \)
C
Wielomian \(W(x)=4x^5+ax^3+bx^2+1\) jest podzielny przez dwumian \(2x+1\), a reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian \(x-2\) jest równa \(105\). Wyznacz pierwiastki wielomianu \(W\).
\(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\)
Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \((x-1)\) jest równa \(4\), a reszta z dzielenia tego wielomianu przez \((x+3)\) jest równa \((-16)\). Wynika stąd, że reszta z dzielenia tego wielomianu przez \((x-1)\cdot (x+3)\) jest równa:
A.\( 5x+1 \)
B.\( -5x+1 \)
C.\( 5x-1 \)
D.\( -5x-1 \)
C
Wielomian \(W(x)=2x^3+ax^2+bx+c\) jest podzielny przez trójmian \(x^2+x-6\), a przy dzieleniu przez dwumian \(x+1\) daje resztę \(6\). Wyznacz wartości współczynników \(a\), \(b\) i \(c\).
\(a=3, b=-11, c=-6\)
Reszty z dzielenia wielomianu \(W(x)=x^4+bx^3+cx^2\) przez dwumiany \((x-2)\) i \((x-3)\) są odpowiednio równe \((−8)\) oraz \((−18)\). Oblicz resztę z dzielenia wielomianu \(W\) przez dwumian \((x-4)\)
Tematy nadrzędne i sąsiednie